Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(2\left| {{z_1}} \right| = 2\left| {{z_2}} \right| = \left|

Câu hỏi số 598475:

Vận dụng cao

Cho các số phức \({z_1},{z_2},{z_3}\) thỏa mãn \(2\left| {{z_1}} \right| = 2\left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 2\) và \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 2{z_1}{z_2}\). Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của \({z_1},{z_2},{z_3}\) trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích tam giác ABC bằng

A. \(\dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}\).

B. \(\dfrac{3}{8}\).

C. \(\dfrac{{3\sqrt 3 }}{8}\).

D. \(\dfrac{3}{4}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598475

Phương pháp giải

Chứng minh \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1\) và \(\left| {{z_3}} \right| = 2\).

Chứng minh \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 1\).

Từ đẳng thức \({\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)\) tính AB.

Từ giả thiết \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 2{z_1}{z_2}\) tính AC.

Từ gải thiết \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 2{z_1}{z_2}\) tính BC.

Chứng minh tam giác ABC đều và tính diện tích tam giác đều.

Giải chi tiết

- Từ giả thiết ta được \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1\) và \(\left| {{z_3}} \right| = 2\).

- Theo giả thiết \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 2{z_1}{z_2} \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right|\left| {{z_3}} \right| = 2\left| {{z_1}} \right|\left| {{z_2}} \right| \Rightarrow \left| {{z_1} + {z_2}} \right| = 1\).

- Từ đẳng thức \({\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right) \Rightarrow \left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt 3 \Rightarrow AB = \sqrt 3 .\)

- Theo giả thiết \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 2{z_1}{z_2} \Leftrightarrow \left( {{z_1} - {z_2}} \right){z_3} = 2\left( {{z_1} - {z_3}} \right){z_2}\)

\( \Rightarrow \left| {{z_1} - {z_2}} \right|\left| {{z_3}} \right| = 2\left| {{z_1} - {z_3}} \right|\left| {{z_2}} \right|\)

\( \Rightarrow \left| {{z_1} - {z_3}} \right| = \sqrt 3 \Rightarrow AC = \sqrt 3 .\)

- Theo giả thiết \(\left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_3} = 2{z_1}{z_2} \Leftrightarrow \left( {{z_3} - {z_2}} \right){z_1} = \left( {{z_1} - {z_3}} \right){z_2}\)

\( \Rightarrow \left| {{z_3} - {z_2}} \right|\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_1} - {z_3}} \right|\left| {{z_2}} \right|\)

\( \Rightarrow \left| {{z_3} - {z_2}} \right| = \sqrt 3 \Rightarrow BC = \sqrt 3 .\)

Suy ra tam giác \(ABC\) đều cạnh \(\sqrt 3 \). Suy ra \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{4}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.