Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên AA’ =

Câu hỏi số 598476:

Vận dụng

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh bên AA’ = 2a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60⁰. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

A. \(\dfrac{8}{9}{a^3}\).

B. \(8{a^3}\).

C. \(\dfrac{8}{3}{a^3}\).

D. \(24{a^3}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598476

Phương pháp giải

Kẻ \(AH \bot BC\), chứng minh \(A'H \bot BC\).

Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính AH.

Tính diện tích tam giác ABC.

Tính thể tích khối lăng trụ \(V = AA'.{S_{\Delta ABC}}.\)

Giải chi tiết

Kẻ \(AH \bot BC\), ta có \(AA' \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(AA' \bot BC\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AH \bot BC}\\{AA' \bot BC}\end{array}} \right. \Rightarrow \)\(BC \bot \left( {AA'H} \right) \Rightarrow A'H \bot BC\).

\( \Rightarrow \) \(\left( {\left( {A'BC} \right),\left( {ABC} \right)} \right) = \angle A'HA = {60^0}\).

Xét \(\Delta A'AH\) vuông tại A có: \(\tan \angle A'HA = \dfrac{{AA'}}{{AH}}\).

\( \Rightarrow \tan {60^0}{\rm{\;}} = \dfrac{{2a}}{{AH}} \Leftrightarrow AH = \dfrac{{2a}}{{\tan {{60}^0}}} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\)

\(\Delta ABC\) vuông cân tại A nên \(BC = 2AH = \dfrac{{4a\sqrt 3 }}{3}\).

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}AH \cdot BC = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{4a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{4}{3}{a^2}.\)

Vậy thể tích của khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' là \(V = AA'.{S_{\Delta ABC}} = 2a.\dfrac{4}{3}{a^2} = \dfrac{8}{3}{a^3}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.