Có bao nhiêu số phức z thỏa \(\left| {{z^2}} \right| = 2\left| {z - \overline z } \right|\) và \(\left|

Câu hỏi số 598481:

Vận dụng

Có bao nhiêu số phức z thỏa \(\left| {{z^2}} \right| = 2\left| {z - \overline z } \right|\) và \(\left| {\left( {z + 4} \right)\left( {\overline z + 4i} \right)} \right| = {\left| {z - 4i} \right|^2}\).

A. 4.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598481

Phương pháp giải

Gọi \(z = a + bi\), \(a,b \in \mathbb{R}\). Thay vào các giả thiết, lập các phương trình và giải tìm a, b.

Giải chi tiết

Gọi \(z = a + bi\), \(a,b \in \mathbb{R}\).

Ta có : \(\left| {{z^2}} \right| = 2\left| {z - \overline z } \right| \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 4\left| b \right|\) (1).

\(\left| {\left( {z + 4} \right)\left( {\overline z + 4i} \right)} \right| = {\left| {z - 4i} \right|^2} \Leftrightarrow \left| {z + 4} \right|.\left| {\overline z + 4i} \right| = {\left| {z - 4i} \right|^2}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a + 4} \right)}^2} + {b^2}} .\sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} = {a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} .\left( {\sqrt {{{\left( {a + 4} \right)}^2} + {b^2}} - \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} } \right) = 0\).

+ TH1: \(\sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 4\end{array} \right.\) thỏa (1) .

Vậy \(z = 4i\).

+ TH2: \(\sqrt {{{\left( {a + 4} \right)}^2} + {b^2}} - \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} = 0 \Leftrightarrow a = - b\).

Thay vào ta được (1) : \(2{b^2} - 4\left| b \right| = 0 \Leftrightarrow \left| b \right| = 0 \vee \left| b \right| = 2\).

Với \(\left| b \right| = 0 \Leftrightarrow b = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\a = 0\end{array} \right. \Rightarrow z = 0\).

Với \(\left| b \right| = 2 \Leftrightarrow b = \pm 2 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 2\\a = - 2\end{array} \right. \vee \left\{ \begin{array}{l}b = - 2\\a = 2\end{array} \right. \Rightarrow z = - 2 + 2i \vee z = 2 - 2i\).

Vậy có 4 số phức z thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.