Cho A = (x - )20 + (x3 - )10. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng?

Câu hỏi số 5986:

Cho A = (x - $\frac{1}{x^{2}}$ )²⁰ + (x³ - $\frac{1}{x}$ )¹⁰. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng?

A. 21 (số)

B. 11 (số)

C. 29 (số)

D. 32 (số)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:5986

Giải chi tiết

Ta đặt: A₁ = (x - $\frac{1}{x^{2}}$ )²⁰ và A₂ = (x³ - $\frac{1}{x}$ )¹⁰.

Áp dụng khai triển của nhị thức Niu-tơn cho A₁ và A₂ ta có:

A₁ = (x - $\frac{1}{x^{2}}$ )²⁰ = $\fn_jvn \sum _{k=0}^{20}$ (-1)^k $C_{20}^{k}$ x^20-k(x^-2)^k = $\fn_jvn \sum _{k=0}^{20}$ (-1)^k $C_{20}^{k}$ x^20-3k.

A₂ = (x³ - $\frac{1}{x}$ )¹⁰ = $\sum_{k=0}^{10}$ (-1)ⁿ $C_{10}^{n}$ (x³)^10-n (x^-1)ⁿ = $\sum_{k=0}^{10}$ (-1)ⁿ $C_{10}^{n}$ x^30-4n.

⇒ A = $\fn_jvn \sum _{k=0}^{20}$ (-1)^k $C_{20}^{k}$ x^20-3k + $\sum_{k=0}^{10}$ (-1)ⁿ $C_{10}^{n}$ x^30-4n.

Xét phương trình: 20 - 3k = 30 - 4n

⇔ 4n - 3k = 10 ⇔ k = $\frac{4n-10}{3}$ = n - 3 + $\frac{n-1}{3}$

k , n ∈ Z ⇒ n - 1 chia hết cho 3 với 0 ≤ k ≤ 20 , 0 ≤ n ≤ 10

Giải ra được n = 4, n = 7, n = 10 ; k = 2, k = 6, k = 10.

Vậy trong A₁ và trong A₂ có 3 số hạng có lũy thừa của x giống nhau

Mà trong A₁ = $\fn_jvn \sum _{k=0}^{20}$ (-1)^k $C_{20}^{k}$ x^20-k(x^-2)^k có 21 số hạng

Trong A₂ = $\sum_{k=0}^{10}$ (-1)ⁿ $C_{10}^{n}$ (x³)^10-n (x^-1)ⁿ có 11 số hạng.

Do đó sau khi rút gọn thì ta có số hạng của khai triển là: 21 + 11 - 3 = 29 (số)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.