Cho đường tròn (O;R), lấy điểm M nằm bên ngoài đường tròn sao cho OM = 2R. Qua M vẽ hai tiếp

Câu hỏi số 598726:

Vận dụng

Cho đường tròn (O;R), lấy điểm M nằm bên ngoài đường tròn sao cho OM = 2R. Qua M vẽ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B là hai tiếp điểm) và cát tuyến không đi qua tâm O cắt đường tròn tại C và D (C nằm giữa M và D).

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp một đường tròn;

b) Chứng minh \(\Delta DAM \sim \Delta ACM\);

c) Kẻ \(AH \bot OM\), chứng minh \(AH = \dfrac{1}{2}\sqrt {DM.CM} \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598726

Phương pháp giải

a) Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ là tứ giác nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)

b) \(\Delta DMA \sim \Delta ACM\,\,\,\left( {g.g} \right)\)

c) Sử dụng định lý Py – ta – go và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp một đường tròn.

MA là tiếp tuyến của đường tròn (O) \( \Rightarrow \angle OAM = {90^0}\) (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)

MB là tiếp tuyến của đường tròn (O) \( \Rightarrow \angle OBM = {90^0}\) (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)

Tứ giác MAOB có: \(\angle OAM + \angle OBM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau

\( \Rightarrow MAOB\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Chứng minh \(\Delta DAM \sim \Delta ACM\).

Xét đường tròn (O) có:

\(\angle ADC = \angle MAC\) (góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)

\( \Rightarrow \angle ADM = \angle MAC\)

Xét \(\Delta DAM\) và \(\Delta ACM\) có:

\(\left. \begin{array}{l}\angle AMD\,\,\,chung\\\angle ADM = \angle MAC\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta DMA \sim \Delta ACM\,\,\,\left( {g.g} \right)\)

c) Kẻ \(AH \bot OM\), chứng minh \(AH = \dfrac{1}{2}\sqrt {DM.CM} \)

\(\Delta DMA \sim \Delta ACM\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MC}}{{MA}} \Rightarrow M{A^2} = MC.MD\) (1)

\(\Delta OAM\) vuông tại \(A\), theo định lý Py – ta – go ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\,O{M^2} = O{A^2} + A{M^2}\\ \Leftrightarrow A{M^2} = O{M^2} - O{A^2}\\ \Leftrightarrow A{M^2} = {\left( {2R} \right)^2} - {R^2}\\ \Leftrightarrow A{M^2} = 3{R^2}\end{array}\)

\(\Delta OAM\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\), ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{M^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{{R^2}}} + \dfrac{1}{{3{R^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{4}{{3{R^2}}}\\ \Leftrightarrow A{H^2} = \dfrac{{3{R^2}}}{4} = \dfrac{{A{M^2}}}{4}\\ \Rightarrow A{M^2} = 4A{H^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2), suy ra \(4A{H^2} = MC.MD \Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}\sqrt {DM.CM} \) (vì độ dài của các cạnh là các số dương)

Từ đó ta có điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link