1. Cho phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 2m = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (x là ẩn số, m là

Câu hỏi số 598864:

Vận dụng

1. Cho phương trình \({x^2} - \left( {m + 2} \right)x + 2m = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\) (x là ẩn số, m là tham số)

a) Giải phương trình (1) khi m = 1.

b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} \le 3\).

2. Bài toán có nội dung thực tế:

Một người dự định trồng 210 cây theo thời gian định trước. Nhưng do thời tiết xấu nên thức tế mỗi ngày người đó trồng được ít hơn dự định 5 cây, vì thế hoàn thành công việc chậm mất 7 ngày so với dự kiến. Hỏi theo dự định ban đầu, mỗi ngày người đó trồng được bao nhiêu cây?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598864

Phương pháp giải

1. a) Với m = 1, thay vào phương trình (1) ta có phương trình dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\,\left( {a \ne 0} \right)\)

Ta có: \(a + b + c = 0\) nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1;{x_2} = \dfrac{c}{a}\)

b) Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2} \Leftrightarrow \Delta \ge 0\)

Áp dụng hệ thức Vi – ét, ta có \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2}\) theo m

Thay vào \(x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} \le 3\), giải bất phương trình và tìm m.

2. Gọi số cây mỗi ngày người đó trong theo dự định ban đầu là: x (cây) (ĐK: \(x \in {\mathbb{N}^*}\)) suy ra số cây trồng được theo thực tế.

\( \Rightarrow \) Thời gian trồng cây theo dự định, theo thực tế.

Vì thời gian hoàn thành công việc chậm mất 7 ngày so với dự kiến nên ta lập được phương trình.

Giải phương trình, đối chiếu điều kiện và kết luận bài toán.

Giải chi tiết

1. a) Với m =1, thay vào phương trình (1), ta được: \({x^2} - 3x + 2 = 0\)

Ta có: \(1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1} = 1\); \({x_2} = \dfrac{2}{1} = 2\).

Vậy với m = 1, phương trình có tập nghiệm là \(S = \left\{ {1;2} \right\}\).

b. Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta {\rm{ \;}} = {{\left( {m + 2} \right)}^2} - 4.2m}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {m^2} + 4m + 4 - 8m}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {m^2} - 4m + 4}\\{{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} = {{\left( {m - 2} \right)}^2}}\end{array}\)

Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) khi \(\Delta {\rm{ \;}} \ge 0\) suy ra \({\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0,\forall m\)

Theo hệ thức Viète, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m + 2}\\{{x_1}{x_2} = 2m}\end{array}} \right.\)

Theo đề bài:

\(x_1^2 + x_2^2 + {x_1}{x_2} \le 3\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - 2{x_1}{x_2} + {x_1}{x_2} \le 3}\\{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2} \le 3}\\{{{\left( {m + 2} \right)}^2} - 2m \le 3}\\{{m^2} + 4m + 4 - 2m - 3 \le 0}\\{{m^2} + 2m + 1 \le 0}\\{{{\left( {m + 1} \right)}^2} \le 0}\end{array}\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{m + 1 = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {{\left( {m + 1} \right)}^2} \ge 0,\forall m} \right)}\\{m = - 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\end{array}\)

Vậy \(m = - 1\).

2. Gọi số cây mỗi ngày người đó trong theo dự định ban đầu là: \(x\) (cây) (ĐK: \(x \in {\mathbb{N}^*}\)).

Thời gian trồng cây theo dự định là: \(\dfrac{{210}}{x}\) (ngày)

Số cây trồng theo thực tế là \(x - 5\) (cây)

Thời gian trồng cây theo thực tế là: \(\dfrac{{210}}{{x - 5}}\) (ngày)

Vì thời gian hoàn thành công việc chậm mất 7 ngày so với dự kiến nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{210}}{{x - 5}} - \dfrac{{210}}{x} = 7}\\{\dfrac{{210x - 210\left( {x - 5} \right)}}{{x\left( {x - 5} \right)}} = \dfrac{{7x\left( {x - 5} \right)}}{{x\left( {x - 5} \right)}}}\\{210\left( {x - x + 5} \right) = 7x\left( {x - 5} \right)}\\{210.5 = 7{x^2} - 35x}\\{7{x^2} - 35x - 1050 = 0}\\{{x^2} - 5x - 150 = 0}\end{array}\)

Ta có: \(\Delta {\rm{ \;}} = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.\left( { - 150} \right) = 625 > 0,\sqrt \Delta {\rm{ \;\;}} = 25\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \dfrac{{5 + 25}}{2} = 15{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right);\,\,\,{x_2} = \dfrac{{5 - 25}}{2} = - 10{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ktm} \right)\)

Vậy theo đự định ban đầu, người đó trồng được 15 cây mỗi ngày.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link