Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh 1. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn \(2M{A^2} + M{B^2} +

Câu hỏi số 598869:

Vận dụng cao

Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh 1. Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn \(2M{A^2} + M{B^2} + 2M{C^2} + M{D^2} = 9\) là một đường tròn có bán kính R. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(R \in \left( {0;1} \right)\).

B. \(R \in \left( {1;2} \right)\).

C. \(R \in \left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\).

D. \(R \in \left( {\dfrac{3}{2};2} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598869

Phương pháp giải

Tìm điểm O thỏa mãn \(2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \).

Chèn điểm O, biểu diễn \(2M{A^2} + M{B^2} + 2M{C^2} + M{D^2} = 9\) theo MO và suy ra tập hợp điểm M.

Giải chi tiết

Gọi O là tâm hình vuông ABCD ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow 0 \\\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \end{array} \right. \Rightarrow 2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow 0 \).

Và \(OA = OB = OC = OD = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,2M{A^2} + M{B^2} + 2M{C^2} + M{D^2} = 9\\ \Leftrightarrow 2{\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} } \right)^2} = 9\\ \Leftrightarrow 2M{O^2} + 2\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OA} + 2O{A^2} + M{O^2} + 2\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OB} + O{B^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 2M{O^2} + 2\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OC} + 2O{C^2} + M{O^2} + 2\overrightarrow {MO} .\overrightarrow {OD} + O{D^2} = 9\\ \Leftrightarrow 6M{O^2} + \overrightarrow {MO} \underbrace {\left( {2\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + 2\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)}_{\overrightarrow 0 } + \left( {2O{A^2} + O{B^2} + 2O{C^2} + O{D^2}} \right) = 9\\ \Leftrightarrow 6M{O^2} + \left( {2.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} + 2.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}} \right) = 9\\ \Leftrightarrow 6M{O^2} = 6 \Leftrightarrow MO = 1.\end{array}\)

Do A, B, C, D, cố định => O cố định.

=> M cách điểm cố định O một khoảng không đổi R = 1.

Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm O, bán kính R = 1.

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10