Cho hai điểm A và B cố định. Biện luận theo k tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện

Câu hỏi số 598870:

Vận dụng cao

Cho hai điểm A và B cố định. Biện luận theo k tập hợp các điểm M thỏa mãn điều kiện \(M{A^2} + 2M{B^2} = k\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:598870

Phương pháp giải

Tìm điểm E thỏa mãn \(\overrightarrow {EA} + 2\overrightarrow {EB} = \overrightarrow 0 \).

Chèn điểm E, biểu diễn \(M{A^2} + 2M{B^2}\) theo ME.

Tính ME theo k và các độ dài cố định, biện luận theo k.

Giải chi tiết

Gọi E là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {EA} + 2\overrightarrow {EB} = \overrightarrow 0 \), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}M{A^2} + 2M{B^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} + 2{\overrightarrow {MB} ^2}\\ = {\left( {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EB} } \right)^2}\\ = M{E^2} + 2\overrightarrow {ME} .\overrightarrow {EA} + E{A^2} + 2M{E^2} + 4\overrightarrow {ME} .\overrightarrow {EB} + 2E{B^2}\\ = 3M{E^2} + 2\overrightarrow {ME} \underbrace {\left( {\overrightarrow {EA} + 2\overrightarrow {EB} } \right)}_{\overrightarrow 0 } + E{A^2} + 2E{B^2}\\ = 3M{E^2} + E{A^2} + 2E{B^2}\end{array}\)

Do \(\overrightarrow {EA} + 2\overrightarrow {EB} = \overrightarrow 0 \) nên \(EA = \dfrac{2}{3}AB,\,\,EB = \dfrac{1}{3}AB\).

Do đó \(M{A^2} + 2M{B^2} = 3M{E^2} + \dfrac{4}{9}A{B^2} + 2.\dfrac{1}{9}A{B^2} = 3M{E^2} + \dfrac{2}{3}A{B^2} = k\)

\( \Rightarrow 3M{E^2} = k - \dfrac{2}{3}A{B^2} \Rightarrow M{E^2} = \dfrac{1}{3}\left( {k - \dfrac{2}{3}A{B^2}} \right)\).

+) Nếu \(k < \dfrac{2}{3}A{B^2}\): Quỹ tích điểm M là rỗng.

+) Nếu \(k = \dfrac{2}{3}A{B^2}\): Quỹ tích điểm M là E.

+) Nếu \(k > \dfrac{2}{3}A{B^2}\): Quỹ tích điểm M là đường tròn tâm E bán kính \(R = \sqrt {\dfrac{1}{3}\left( {k - \dfrac{2}{3}A{B^2}} \right)} \).

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.