Cho \(2021\) số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng tróng các số đó có một số chia hết cho

Câu hỏi số 599022:

Vận dụng cao

Cho \(2021\) số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng tróng các số đó có một số chia hết cho \(2021\) hoặc một tổng các số trong các số đã cho chia hết cho \(2021.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:599022

Phương pháp giải

Khi chia số \(a\) cho số \(m \ne 0\) luôn có \(m\) khả năng về số dư là \(0,\,1,\,2,...,\,m - 1\) (\(m\,\)chuồng). Do vậy, khi chia \(m + 1\) số khác nhau cho \({a_1};\,{a_2};...;\,{a_{m + 1}}\) cho \(m\) ta sẽ có \(m + 1\) số dư ( thỏ) và do đó luôn có hai phép chia có cùng số dư. Giả sử hai số bị chia trong hai phép chia đó là \({a_i}\) và \({a_j}\) (với \(1 \le j < i \le m + 1\)). Ta có: \(\left( {{a_i} - {a_j}} \right) \vdots m.\)

Giải chi tiết

Gọi \(2021\) số tự nhiên đã cho là \({a_1};\,{a_2};\,...;\,{a_{2021}}\)

Xét dãy \({S_1} = {a_1};\,{S_2} = {a_1} + {a_2};\,...;\,{S_{2021}} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_{2021}}\)

Chia tất cả các số hạng của dãy cho \(2021\) ta có các trường hợp sau :

- Trường hợp \(1:\) Nếu có một số hạng nào đó của dãy chia hết cho \(2021\) thì bài toán được chứng minh.

- Trường hợp \(2:\) Nếu không có số hạng nào của dãy chia hết cho \(2021\) thì vì có tất cả \(2021\) phép chia mà số dư chỉ gồm \(1,\,2,\,3,\,...,\,2020\) do đó theo nguyên lý Dirichlet thì có ít nhất hai số hạng của dãy có cùng số dư khi chia cho \(2021\). Gọi hai số hạng đó là: \({S_i};\,{S_j}\)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(1 \le j < i \le 2021\)

Với \({S_i} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_i};\,\,{S_j} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_i} + ... + {a_j}\)

\( \Rightarrow \left( {{S_i} - {S_j}} \right) \vdots 2021 \Rightarrow \left( {{a_{i + 1}} + ... + {a_j}} \right) \vdots 2021\)

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link