Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên \(k\) sao cho \(\left( {{{1999}^k} - 1} \right)\) chia hết cho

Câu hỏi số 599023:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên \(k\) sao cho \(\left( {{{1999}^k} - 1} \right)\) chia hết cho \(104.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:599023

Phương pháp giải

Khi chia số \(a\) cho số \(m \ne 0\) luôn có \(m\) khả năng về số dư là \(0,\,1,\,2,...,\,m - 1\) (\(m\,\)chuồng). Do vậy, khi chia \(m + 1\) số khác nhau cho \({a_1};\,{a_2};...;\,{a_{m + 1}}\) cho \(m\) ta sẽ có \(m + 1\) số dư ( thỏ) và do đó luôn có hai phép chia có cùng số dư. Giả sử hai số bị chia trong hai phép chia đó là \({a_i}\) và \({a_j}\) (với \(1 \le j < i \le m + 1\)). Ta có: \(\left( {{a_i} - {a_j}} \right) \vdots m.\)

Giải chi tiết

Xét dãy số có dạng : \({1999^1};\,{1999^2};...;\,{1999^{104}}\)

Lấy tất cả các số trên chia cho \(104\) thì sẽ có \(103\) khả năng dư là : \(1,\,2,\,...,\,103\) (chú ý: sẽ không có số dư là \(0\) vì \(1999\) và \(104\) là hai số nguyên tố cùng nhau nên \(1999\) mũ bao nhiêu cung không chia hết cho \(104\))

Mà dãy số trên có \(104\) số nên sẽ có ít nhất hai số khi chia cho \(104\) có cùng số dư.

Gọi hai số có cùng số dư khi chia cho \(104\) là \({1999^a}\) và \({1999^b}\,\left( {a > b} \right)\)

Ta có : \(\left( {{{1999}^a} - {{1999}^b}} \right) \vdots 104 \Rightarrow {1999^b}\left[ {{{1999}^{\left( {a - b} \right)}} - 1} \right] \vdots 104\)

Mà ƯCLN\(\left( {{{1999}^b},104} \right) = 1\) (vì hai số nguyên tố cùng nhau) nên \(\left[ {{{1999}^{\left( {a - b} \right)}} - 1} \right] \vdots 104.\)

Đặt \(k = a - b,\) ta có \(\left( {{{1999}^k} - 1} \right) \vdots 104\) (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.