Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn:

$\sqrt{a^2 + b^2}$ + $\sqrt{c^2 + b^2}$ + $\sqrt{a^2 + c^2}$ = $\sqrt{2011}$

Chứng minh:

$\frac{a^2}{b + c}$ + $\frac{b^2}{a + c}$ + $\frac{c^2}{b + a}$ ≥ $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$

Câu 59976: Cho 3 số dương a, b, c thỏa mãn:

$\sqrt{a^2 + b^2}$ + $\sqrt{c^2 + b^2}$ + $\sqrt{a^2 + c^2}$ = $\sqrt{2011}$

Chứng minh:

$\frac{a^2}{b + c}$ + $\frac{b^2}{a + c}$ + $\frac{c^2}{b + a}$ ≥ $\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$

A. Click để xem đáp án

Câu hỏi : 59976

Đáp án : A
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có 2(a² + b²) ≥ (a + b)²

=> $\frac{a^2}{b + c}$ + $\frac{b^2}{a + c}$ + $\frac{c^2}{b + a}$ ≥ $\frac{a^2}{\sqrt{2(b^2 + c^2)}}$ + $\frac{b^2}{\sqrt{2(a^2 + c^2)}}$ + $\frac{c^2}{\sqrt{2(a^2 + b^2)}}$

Đặt z = $\sqrt{a^2 + b^2}$ ; x = $\sqrt{c^2 + b^2}$ ; y = $\sqrt{a^2 + c^2}$

=> VT ≥ $\frac{y^2 + z^2 - x^2}{2\sqrt{2}x}$ + $\frac{x^2 + z^2 - y^2}{2\sqrt{2}y}$ + $\frac{y^2 + x^2 - z^2}{2\sqrt{2}z}$

≥ $\frac{1}{2\sqrt{2}}\left [ \left ( \frac{(y + z)^2}{2x} - x\right )+ \left ( \frac{(x + z)^2}{2y} - y\right ) + \left ( \frac{(y + x)^2}{2z} - z\right )\right ]$

≥ $\frac{1}{2\sqrt{2}}\left [ \left ( \frac{(y + z)^2}{2x} +2x - 3x\right )+ \left ( \frac{(x + z)^2}{2y} +2y - 3y\right ) + \left ( \frac{(y + x)^2}{2z} +2x - 3z\right )\right ]$

≥ $\frac{1}{2\sqrt{2}}\left [ (2(y + z) - 3x) + (2(x + z) - 3y) + (2(y + x) - 3z) \right ]$

Suy ra VT ≥ $\frac{1}{2\sqrt{2}}(x + y + z) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{2011}{2}}$

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.