Cho các số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {\dfrac{b}{{2a + 2}}} \right) = a - b\). Giá trị

Câu hỏi số 601517:

Vận dụng

Cho các số thực dương \(a,b\) thỏa mãn \({\log _2}\left( {\dfrac{b}{{2a + 2}}} \right) = a - b\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = b + \dfrac{9}{{a + 2}}\) là:

A. 7.

B. 5.

C. 6.

D. 4.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:601517

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm của phương trình \({\log _2}\left( {\dfrac{b}{{2a + 2}}} \right) = a - b\).

Sử dụng BĐT Cô si để đánh giá GTNN của P.

Giải chi tiết

Với \(a,b > 0\) ta có: \({\log _2}\left( {\dfrac{b}{{2a + 2}}} \right) = a - b \Leftrightarrow {\log _2}b - {\log _2}\left( {a + 1} \right) - 1 = a - b \Leftrightarrow {\log _2}\left( {a + 1} \right) + a + 1 = {\log _2}b + b\) (*)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right):\,\,f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0,\,\forall t > 0 \Rightarrow f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Khi đó: (*) \( \Leftrightarrow a + 1 = b\).

\(P = b + \dfrac{9}{{a + 2}} = a + 1 + \dfrac{9}{{a + 2}} = \left( {a + 2 + \dfrac{9}{{a + 2}}} \right) - 1 \ge 2\sqrt {\left( {a + 2} \right).\dfrac{9}{{a + 2}}} - 1 = 2.3 - 1 = 5\).

Đẳng thức xảy ra khi \(a + 2 = \dfrac{9}{{a + 2}} \Rightarrow a = 1.\)

\( \Rightarrow {P_{\min }} = 5\) khi \(a = 1,b = 2\).

Chọn B

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.