Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{2} =

Câu hỏi số 605980:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{{x + 1}}{1} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z - 2}}{1}\) và điểm I(0;0;3). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.

A. \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \dfrac{8}{3}\).

B. \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \dfrac{3}{8}\).

C. \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \dfrac{3}{8}\).

D. \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \dfrac{8}{3}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:605980

Phương pháp giải

Gọi H là trung điểm của AB. Tính \(IH = d\left( {I,d} \right)\).

Chứng minh tam giác IAB vuông cân \( \Rightarrow \angle IAH = {45^0}\), tính bán kính R = IA.

Viết phương trình mặt cầu (S).

Giải chi tiết

+) \(d\left( {I,d} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}\)

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {IM} = \left( { - 1;0; - 1} \right)\\\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;2;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {2;0; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow d\left( {I,d} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}} = \dfrac{{\sqrt 8 }}{{\sqrt 6 }} = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

+) Do \(\Delta IAB\) cân tại I và vuông tại I

\( \Rightarrow \Delta IAB\) vuông cân tại I \( \Rightarrow \angle IAH = {45^0}\).

+) Xét tam giác vuông IAH: \(\sin {45^0} = \dfrac{{IH}}{{IA}} \Rightarrow IA = \dfrac{{IH}}{{\sin {{45}^0}}} = \dfrac{{\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}}}{{\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \dfrac{{2\sqrt 6 }}{3} = R\).

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: \(\left( S \right):\,\,{x^2} + {y^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \dfrac{8}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.