Giải phương trình \({\sin ^4}x + {\sin ^4}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^4}\left( {x + \dfrac{\pi

Câu hỏi số 607630:

Vận dụng

Giải phương trình \({\sin ^4}x + {\sin ^4}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^4}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{9}{8}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:607630

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \(\sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sin x + \cos x} \right)\), \(\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\cos x - \sin x} \right)\).

Sử dụng công thức \({\cos ^2}x = 1 - {\sin ^2}x\).

Đặt \({\sin ^2}x = t\,\,\left( {0 \le t \le 1} \right)\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{\sin ^4}x + {\sin ^4}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) + {\cos ^4}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{9}{8}\\ \Leftrightarrow {\sin ^4}x + \dfrac{1}{4}{\left( {\sin x + \cos x} \right)^4} + \dfrac{1}{4}{\left( {\cos x - \sin x} \right)^4} = \dfrac{9}{8}\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + {\left( {\sin x + \cos x} \right)^4} + {\left( {\cos x - \sin x} \right)^4} = \dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + {\left[ {{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}} \right]^2} + {\left[ {{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}^2}} \right]^2} = \dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + {\left( {1 + 2\sin x\cos x} \right)^2} + {\left( {1 - 2\sin x\cos x} \right)^2} = \dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + {\left( {1 + \sin 2x} \right)^2} + {\left( {1 - \sin 2x} \right)^2} = \dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + 2 + 8{\sin ^2}x{\cos ^2}x = \dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + 2 + 8{\sin ^2}x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) = \dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow 4{\sin ^4}x + 2 + 8{\sin ^2}x - 8{\sin ^4}x = \dfrac{9}{2}\\ \Leftrightarrow - 4{\sin ^4}x + 8{\sin ^2}x - \dfrac{5}{2} = 0\end{array}\)

Đặt \({\sin ^2}x = t\,\,\left( {0 \le t \le 1} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - 4{t^2} + 8t - \dfrac{5}{2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{{4 + \sqrt 6 }}{4}\,\,\left( {ktm} \right)\\t = \dfrac{{4 - \sqrt 6 }}{4}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}x = \dfrac{{4 - \sqrt 6 }}{4} \Leftrightarrow \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2} = \dfrac{{4 - \sqrt 6 }}{4}\\ \Leftrightarrow \cos 2x = \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} \Leftrightarrow 2x = \pm \arccos \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} + k2\pi \\ \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{1}{2}\arccos \dfrac{{ - 2 + \sqrt 6 }}{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.