Tìm m để bất phương trình \(\dfrac{{ - 20{x^2} + 21x - 2022}}{{\left( {{m^2} - 4} \right){x^2} - 2\left( {m +

Câu hỏi số 607782:

Vận dụng

Tìm m để bất phương trình \(\dfrac{{ - 20{x^2} + 21x - 2022}}{{\left( {{m^2} - 4} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - 1}} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:607782

Phương pháp giải

Xét dấu \(f\left( x \right) = - 20{x^2} + 21x - 2021\).

Chứng minh: Để \(\dfrac{{ - 20{x^2} + 21x - 2022}}{{\left( {{m^2} - 4} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - 1}} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(\left( {{m^2} - 4} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - 1 < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Sử dụng: \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c < 0\,\, \in \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a < 0\\\Delta ' < 0\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Xét \(f\left( x \right) = - 20{x^2} + 21x - 2021\) có \(\left\{ \begin{array}{l}a = - 20 < 0\\\Delta = - 161319 < 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow f\left( x \right) < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Do đó để \(\dfrac{{ - 20{x^2} + 21x - 2022}}{{\left( {{m^2} - 4} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - 1}} \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) thì \(\left( {{m^2} - 4} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - 1 < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

TH1: \({m^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow m = \pm 2\).

+ Với m = 2 ta có bất phương trình: \( - 8x - 1 < 0 \Leftrightarrow x > - \dfrac{1}{8}\) không thỏa mãn \(\forall x \in \mathbb{R}\).

+ Với m = -2 ta có bất phương trình: \( - 1 < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

TH2: \({m^2} - 4 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 2\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {{m^2} - 4} \right){x^2} - 2\left( {m + 2} \right)x - 1 < 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = {m^2} - 4 < 0\\\Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} + \left( {{m^2} - 4} \right) < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 2\\2{m^2} + 4m < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 < m < 2\\ - 2 < m < 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow - 2 < m < 0\end{array}\)

Kết hợp hai trường hợp ta có \( - 2 \le m < 0.\)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.