Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + z - 1 = 0\) và
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + z - 1 = 0\) và điểm A(0;-2;3), B(2;0;1). Điểm M(a;b;c) thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất. Giá trị của \({a^2} + {b^2} + {c^2}\) bằng:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Chứng minh A, B cùng phía đối với (P).
Sử dụng tính chất đối xứng, bất đẳng thức tam giác.
+ Thay A(0;-2;3) vào (P) được 6.
+ Thay B(2;0;1) vào (P) được 2.
=> A, B cùng phía đối với (P).
+ Xét \(P = MA + MB = MA' + MB \ge A'B\)
=> P min khi M là giao điểm của A’B với (P).
+ Tìm H.
Lập phương trình AH: \(\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,A\left( {0; - 2;3} \right)\\\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2 - 2t\\z = 3 + t\end{array} \right.\).
Gọi \(H \in \left( {t; - 2 - 2t;3 + t} \right)\).
Thay H vào (P) \( \Rightarrow t - 2\left( { - 2 - 2t} \right) + \left( {3 + t} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\).
\( \Rightarrow H\left( { - 1;0;2} \right)\).
+ Tìm A’: H là trung điểm của AA’ \( \Rightarrow A' = 2H - A \Rightarrow A'\left( { - 2;2;1} \right)\).
+ Lập A’B: \(\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,B\left( {2;0;1} \right)\\\overrightarrow u = \overrightarrow {A'B} = \left( {4; - 2;0} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A'B:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 4t\\y = - 2t\\z = 1\end{array} \right.\)
+ Tìm \(M = A'B \cap \left( P \right)\).
Gọi \(M\left( {2 + 4t; - 2t;1} \right)\)
Thay vào (P) \( \Rightarrow 2 + 4t - 2.\left( { - 2t} \right) + 1 - 1 = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{1}{4}\).
\( \Rightarrow M\left( {1;\dfrac{1}{2};1} \right) \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{9}{4}.\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
