Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;2), B(0;-1;2) và mặt phẳng

Câu hỏi số 608371:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;0;2), B(0;-1;2) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + 2y - 2z + 12 = 0\). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất?

A. \(M\left( { - \dfrac{6}{{11}}; - \dfrac{{18}}{{11}};\dfrac{{25}}{{11}}} \right)\).

B. \(M\left( {\dfrac{7}{6};\dfrac{7}{6};\dfrac{{31}}{4}} \right)\).

C. \(M\left( { - \dfrac{2}{5}; - \dfrac{{11}}{5};\dfrac{{18}}{5}} \right)\).

D. \(M\left( {2;2;9} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:608371

Phương pháp giải

Chứng minh A, B cùng phía đối với (P).

Sử dụng tính chất đối xứng, bất đẳng thức tam giác.

Giải chi tiết

+ Thay A(1;0;2) vào (P) được 9.

+ Thay B(0;-1;2) vào (P) được 6.

=> A, B cùng phía đối với (P).

+ Xét \(P = MA + MB = MA' + MB \ge A'B\)

=> P min khi M là giao điểm của A’B với (P).

+ Tìm H.

Lập phương trình AH: \(\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,A\left( {1;0;2} \right)\\\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 2 - 2t\end{array} \right.\).

Gọi \(H \in \left( {1 + t;2t;2 - 2t} \right)\).

Thay H vào (P) \( \Rightarrow 1 + t + 2\left( {2t} \right) - 2\left( {2 - 2t} \right) + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - 1\).

\( \Rightarrow H\left( {0; - 2;4} \right)\).

+ Tìm A’: H là trung điểm của AA’ \( \Rightarrow A' = 2H - A \Rightarrow A'\left( { - 1; - 4;6} \right)\).

+ Lập A’B: \(\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,B\left( {0; - 1;2} \right)\\\overrightarrow u = \overrightarrow {A'B} = \left( {1;3; - 4} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow A'B:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 1 + 3t\\z = 2 - 4t\end{array} \right.\)

+ Tìm \(M = A'B \cap \left( P \right)\).

Gọi \(M\left( {t; - 1 + 3t;2 - 4t} \right)\)

Thay vào (P) \( \Rightarrow t + 2\left( { - 1 + 3t} \right) - 2\left( {2 - 4t} \right) + 12 = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{2}{5}\).

Vậy \(M\left( { - \dfrac{2}{5}; - \dfrac{{11}}{5};\dfrac{{18}}{5}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.