Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;0), B(-1;3;2) và mặt phẳng \(\left( \alpha

Câu hỏi số 608374:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;0), B(-1;3;2) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):\,\,x - y + z - 3 = 0\). Tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) sao cho \(S = M{A^2} + M{B^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

A. M(2;1;2).

B. \(M\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3}} \right)\).

C. M(1;1;3).

D. M(0;2;1).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:608374

Phương pháp giải

Tìm điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).

Chèn điểm I vào biểu thức \(S = M{A^2} + M{B^2}\).

Giải chi tiết

Xét \(S = M{A^2} + M{B^2}\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = 2{\overrightarrow {MI} ^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + I{A^2} + I{B^2}\end{array}\)

Tìm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow I = \dfrac{{A + B}}{2} \Rightarrow I\left( {0;2;1} \right).\).

\( \Rightarrow {S_{\min }} \Leftrightarrow 2{\overrightarrow {MI} ^2}_{\min } \Leftrightarrow M{I_{\min }}\)
=> M là hình chiếu vuông góc của I lên \(\left( \alpha \right)\).

Lập IM: \(\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,I\left( {0;2;1} \right)\\\overrightarrow u = \left( {1; - 1;1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow IM:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 2 - t\\z = 1 + t\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow M\left( {t;2 - t;1 + t} \right)\).

Thay vào \(\left( \alpha \right)\): \( \Rightarrow t - \left( {2 - t} \right) + \left( {1 + t} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{4}{3}\).

Vậy \(M\left( {\dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{7}{3}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.