Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;2), B(5;4;4) và mặt phẳng (P) có phương trình: \(2x

Câu hỏi số 608375:

Vận dụng

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2;2), B(5;4;4) và mặt phẳng (P) có phương trình: \(2x + y - z + 6 = 0\). Gọi M là điểm nằm trên (P) sao cho \(M{A^2} + M{B^2}\) là nhỏ nhất. Khi đó, tung độ của điểm M là:

A. \({y_M} = 1\).

B. \({y_M} = \dfrac{8}{9}\).

C. \({y_M} = 3\).

D. \({y_M} = - 1\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:608375

Phương pháp giải

Tìm điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).

Chèn điểm I vào biểu thức \(M{A^2} + M{B^2}\).

Giải chi tiết

Xét \(P = M{A^2} + M{B^2}\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = 2{\overrightarrow {MI} ^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right) + I{A^2} + I{B^2}\end{array}\)

Tìm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow I = \dfrac{{A + B}}{2} \Rightarrow I\left( {3;3;3} \right).\).

\( \Rightarrow {P_{\min }} \Leftrightarrow 2{\overrightarrow {MI} ^2}_{\min } \Leftrightarrow M{I_{\min }}\)
=> M là hình chiếu vuông góc của I lên \(\left( \alpha \right)\).

Lập IM: \(\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,I\left( {3;3;3} \right)\\\overrightarrow u = \left( {2;1; - 1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow IM:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 3 + t\\z = 3 - t\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow M\left( {3 + 2t;3 + t;3 - t} \right)\).

Thay vào \(\left( \alpha \right)\): \( \Rightarrow 2\left( {3 + 2t} \right) + \left( {3 + t} \right) - \left( {3 - t} \right) + 6 = 0 \Leftrightarrow t = - 2\).

Vậy \(M\left( { - 1;1;5} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.