Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;-1), B(3;1;-2), C(2;3;-3) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 2z - 3 =

Câu hỏi số 608376:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho A(1;2;-1), B(3;1;-2), C(2;3;-3) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 2z - 3 = 0\), M(a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho biểu thức \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) có giá trị nhỏ nhất. Xác định a + b + c.

A. 3.

B. -2.

C. 2.

D. -3.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:608376

Phương pháp giải

Tìm điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Chèn điểm I vào biểu thức \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\).

Giải chi tiết

Xét \(P = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\)

\(\begin{array}{l} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\ = 3{\overrightarrow {MI} ^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right) + I{A^2} + I{B^2} + I{C^2}\end{array}\)

Tìm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow I = \dfrac{{A + B + C}}{3} \Rightarrow I\left( {2;2; - 2} \right).\).

\( \Rightarrow {P_{\min }} \Leftrightarrow 3{\overrightarrow {MI} ^2}_{\min } \Leftrightarrow M{I_{\min }}\)
=> M là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

Lập IM: \(\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,I\left( {2;2; - 2} \right)\\\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow IM:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 2 - 2t\\z = - 2 + 2t\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow M\left( {2 + t;2 - 2t; - 2 + 2t} \right)\).

Thay vào \(\left( \alpha \right)\): \( \Rightarrow 2 + t - 2\left( {2 - 2t} \right) + 2\left( { - 2 + 2t} \right) - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\).

Vậy \(M\left( {3;0;0} \right) \Rightarrow a + b + c = 3.\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.