Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;2;3), B(1;-1;3), C(3;1;-1) và mặt phẳng (P) có

Câu hỏi số 608377:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;2;3), B(1;-1;3), C(3;1;-1) và mặt phẳng (P) có phương trình \(x + 2z - 8 = 0\). Gọi M là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho giá trị biểu thức \(T = 2M{A^2} + M{B^2} + 3M{C^2}\) nhỏ nhất. Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng \(\left( Q \right):\,\, - x + 2y - 2z - 6 = 0\).

A. 4.

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\).

D. 2.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:608377

Phương pháp giải

Tìm điểm I thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Chèn điểm I vào biểu thức \(T = 2M{A^2} + M{B^2} + 3M{C^2}\).

Giải chi tiết

Xét \(T = 2M{A^2} + M{B^2} + 3M{C^2}\)

\(\begin{array}{l} = 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\ = 6{\overrightarrow {MI} ^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} } \right) + 2I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2}\end{array}\)

Tìm I thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \) \( \Rightarrow I = \dfrac{{2A + I + 3B}}{{2 + 1 + 3}} \Rightarrow I\left( {1;1;1} \right).\).

\( \Rightarrow {T_{\min }} \Leftrightarrow 6{\overrightarrow {MI} ^2}_{\min } \Leftrightarrow M{I_{\min }}\)
=> M là hình chiếu vuông góc của I lên (Q).

Lập IM: \(\left\{ \begin{array}{l}qua\,\,I\left( {1;1;1} \right)\\\overrightarrow u = \overrightarrow {{n_Q}} = \left( { - 1;2; - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow IM:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 1 + 2t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow M\left( {1 - t;1 + 2t;1 - 2t} \right)\).

Thay vào \(\left( \alpha \right)\): \( \Rightarrow - \left( {1 - t} \right) + 2\left( {1 + 2t} \right) - 2\left( {1 - 2t} \right) - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow M\left( {2;1;3} \right)\\ \Rightarrow d\left( {M,\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - 2 + 2 - 6 - 6} \right|}}{{\sqrt {1 + 4 + 4} }} = 4.\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.