Biết rằng \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{3x + 5\sqrt {3x + 1} + 7}}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5\)

Câu hỏi số 608826:

Vận dụng

Biết rằng \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{3x + 5\sqrt {3x + 1} + 7}}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5\) với \(a,b,c \in \mathbb{Q}\). Giá trị a + b + c bằng

A. \(\dfrac{{10}}{3}\).

B. \( - \dfrac{{10}}{3}\).

C. \(\dfrac{5}{3}\).

D. \( - \dfrac{5}{3}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:608826

Phương pháp giải

Đổi biến \(t = \sqrt {3x + 1} \).

Giải chi tiết

Đặt \(t = \sqrt {3x + 1} \Rightarrow {t^2} = 3x + 1 \Leftrightarrow 2tdt = 3dx \Leftrightarrow dx = \dfrac{2}{3}tdt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = 1 \Rightarrow t = 2\end{array} \right.\).

Khi đó \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{3x + 5\sqrt {3x + 1} + 7}}} = \int\limits_1^2 {\dfrac{{\dfrac{2}{3}tdt}}{{{t^2} + 5t + 6}}} = \dfrac{2}{3}\int\limits_1^2 {\dfrac{{tdt}}{{\left( {t + 2} \right)\left( {t + 3} \right)}}} \).

Giả sử \(\dfrac{t}{{\left( {t + 2} \right)\left( {t + 3} \right)}} = \dfrac{A}{{t + 2}} + \dfrac{B}{{t + 3}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{t}{{\left( {t + 2} \right)\left( {t + 3} \right)}} = \dfrac{{A\left( {t + 2} \right) + B\left( {t + 3} \right)}}{{\left( {t + 2} \right)\left( {t + 3} \right)}}\\ \Leftrightarrow t = \left( {A + B} \right)t + 2A + 3B\end{array}\)

Đồng nhất hệ số ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}A + B = 1\\2A + 3B = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 3\\B = - 2\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \dfrac{t}{{\left( {t + 2} \right)\left( {t + 3} \right)}} = \dfrac{3}{{t + 2}} - \dfrac{2}{{t + 3}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{3x + 5\sqrt {3x + 1} + 7}}} = \dfrac{2}{3}\int\limits_1^2 {\left( {\dfrac{3}{{t + 2}} - \dfrac{2}{{t + 3}}} \right)dt} \\ = \left. {\left( {2\ln \left| {t + 2} \right| - \dfrac{4}{3}\ln \left| {t + 3} \right|} \right)} \right|_1^2\\ = 2\ln 4 - \dfrac{4}{3}\ln 5 - 2\ln 3 + \dfrac{4}{3}\ln 4\\ = \dfrac{{10}}{3}\ln 4 - 2\ln 3 - \dfrac{4}{3}\ln 5\\ = \dfrac{{20}}{3}\ln 2 - 2\ln 3 - \dfrac{4}{3}\ln 5\end{array}\)

\( \Rightarrow a = \dfrac{{20}}{3},\,\,b = - 2,\,\,c = - \dfrac{4}{3} \Rightarrow a + b + c = \dfrac{{10}}{3}.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.