Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}\),

Câu hỏi số 608829:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho ba đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{x}{1} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z + 1}}{{ - 2}}\), \({\Delta _1}:\,\,\dfrac{{x - 3}}{2} = \dfrac{y}{1} = \dfrac{{z - 1}}{1}\) và \({\Delta _2}:\,\,\dfrac{{x - 1}}{1} = \dfrac{{y - 2}}{2} = \dfrac{z}{1}\). Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với d đồng thời cắt \({\Delta _1},\,\,{\Delta _2}\) tại H, K sao cho HK nhỏ nhất. Biết rằng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \left( {h;k;1} \right).\) Giá trị h – k bằng

A. 0.

B. 4.

C. 6.

D. -2.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:608829

Phương pháp giải

Tham số hóa tọa độ \(H \in {\Delta _1}\) theo ẩn t, \(K \in {\Delta _2}\) theo ẩn m.

Tính \(\overrightarrow {HK} \).

Giải phương trình \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {HK} = 0\) tìm m theo t.

Tính HK, tìm t để HK nhỏ nhất, từ đó suy ra 1 VTCP của \(\Delta .\)

Giải chi tiết

Vì \(H \in {\Delta _1} \Rightarrow H\left( {3 + 2t;t;1 + t} \right)\)

Vì \(K \in {\Delta _2} \Rightarrow K\left( {1 + m;2 + 2m;m} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {HK} = \left( {m - 2t - 2;2m - t + 2;m - t - 1} \right)\) là 1 VTCP của \(\Delta \).

Đường thẳng d có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {1;1; - 2} \right)\)

Vì \(\Delta \bot d \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {HK} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow m - 2t - 2 + 2m - t + 2 - 2\left( {m - t - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow m - t + 2 = 0 \Leftrightarrow m = t - 2\\ \Rightarrow \overrightarrow {HK} = \left( { - t - 4;t - 2; - 3} \right)\\ \Rightarrow HK = \sqrt {{{\left( {t + 4} \right)}^2} + {{\left( {t - 2} \right)}^2} + 9} = \sqrt {2{t^2} + 4t + 29} \\ \Rightarrow HK = \sqrt {2{{\left( {t + 1} \right)}^2} + 27} \ge \sqrt {27} \\ \Rightarrow H{K_{\min }} = \sqrt {27} \Leftrightarrow t = - 1\end{array}\)

Khi đó \(\overrightarrow {HK} = \left( { - 3; - 3; - 3} \right) = - 3\left( {1;1;1} \right)\)

=> Đường thẳng \(\Delta \) có 1 VTCP \(\overrightarrow u \left( {1;1;1} \right) \Rightarrow h = k = 1 \Rightarrow h - k = 0.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.