Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) với a, b, c là các số thực. Biết hàm số

Câu hỏi số 608830:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) với a, b, c là các số thực. Biết hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right) + f''\left( x \right)\) có hai giá trị cực trị là -4 và 2. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}\) và y = 1 bằng:

A. ln3.

B. 3ln2.

C. 4ln2.

D. 2ln2.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:608830

Phương pháp giải

+ Tính \(f'\left( x \right),\,\,f''\left( x \right)\).

+ Tính \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right) + f''\left( x \right)\).

+ Chứng minh phương trình g’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\) sao cho \(g\left( {{x_1}} \right) = 2,\,\,g\left( {{x_2}} \right) = - 4\).

+ Giải phương trình hoành độ giao điểm \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}} = 1\) tìm các nghiệm.

+ Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.

Giải chi tiết

Ta có: \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2} + 2ax + b\\\,\,\,\,\,\,\,f''\left( x \right) = 6x + 2a\\ \Rightarrow g\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right) + f''\left( x \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^3} + a{x^2} + bx + c + 3{x^2} + 2ax + b + 6x + 2a\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {x^3} + \left( {a + 3} \right){x^2} + \left( {2a + b + 6} \right)x + 2a + b + c\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = 3{x^2} + 2\left( {a + 3} \right)x + 2a + b + 6\end{array}\)

Vì hàm số g(x) có hai giá trị cực trị là -4 và 2 nên phương trình g’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\) sao cho \(g\left( {{x_1}} \right) = 2,\,\,g\left( {{x_2}} \right) = - 4\) (Vì g(x) là hàm đa thực bậc ba có hệ số của x³ dương nên x_CĐ < x_CT).

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}} = 1 \Leftrightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + 6\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} + a{x^2} + bx + c = {x^3} + \left( {a + 3} \right){x^2} + \left( {2a + b + 6} \right)x + 2a + b + c + 6\\ \Leftrightarrow 0 = 3{x^2} + \left( {2a + 6} \right)x + 2a + b + 6\\ \Leftrightarrow 0 = g'\left( x \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {x_1}\\x = {x_2}\end{array} \right.\end{array}\)

Diện tích hình phẳng: \(S = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {\dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}} - 1} \right|dx} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\left| {\dfrac{{g'\left( x \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}} \right|dx} = \left| {\int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} {\dfrac{{d\left( {g\left( x \right)} \right)}}{{g\left( x \right) + 6}}} } \right|\)

\(\begin{array}{l} = \left| {\left. {\ln \left| {g\left( x \right) + 6} \right|} \right|_{{x_1}}^{{x_2}}} \right| = \left| {\ln \left| {g\left( {{x_2}} \right) + 6} \right| - \ln \left| {g\left( {{x_1}} \right) + 6} \right|} \right|\\ = \left| {\ln \left| { - 4 + 6} \right| - \ln \left| {2 + 6} \right|} \right| = \left| {\ln 2 - \ln 8} \right| = 2\ln 2.\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.