Cho phương trình ẩn \(x:{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 2m - 11 = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\) a) Chứng

Câu hỏi số 608931:

Vận dụng

Cho phương trình ẩn \(x:{x^2} + 2\left( {m + 3} \right)x + 2m - 11 = 0\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

a) Chứng tỏ phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m\).

b) Tìm giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn hệ thức \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = 2\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:608931

Phương pháp giải

a)Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\left( {a \ne 0} \right)\) có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\)\( \Leftrightarrow \Delta > 0\) với mọi \(m\) (hoặc \(\Delta ' > 0\) với mọi \(m\))

b) Theo hệ thức Vi – ét, tính \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \dfrac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right.\) theo \(m\)

Biến đổi biểu thức \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = 2\), sau đó thay \({x_1} + {x_2},{x_1}{x_2}\) từ đó tìm được \(m\)

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\Delta ' = {\left( {m + 3} \right)^2} - \left( {2m - 11} \right)\)

\(\begin{array}{l} = {m^2} + 6m + 9 - 2m + 11\\ = {m^2} + 3m + 20\\ = \left( {{m^2} + 2.\dfrac{3}{2}m + \dfrac{9}{4}} \right) - \dfrac{9}{4} + 20\\ = {\left( {m + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{71}}{4}\end{array}\)

Vì \({\left( {m + \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{71}}{4} > 0,\forall m\)

\( \Rightarrow \Delta ' > 0,\forall m\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m\).

b) Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m\)

Theo hệ thức Vi – ét, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = - 2\left( {m + 3} \right)}\\{{x_1}{x_2} = 2m - 11}\end{array}} \right.\)

Ta có: \(\dfrac{1}{{{x_1}}} + \dfrac{1}{{{x_2}}} = 2\) \(\left( {{x_1} \ne 0;{x_2} \ne 0} \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x_1} + {x_2} - 2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = 0}\\{{x_1} + {x_2} - 2{x_1}{x_2} = 0}\\{ - 2\left( {m + 3} \right) - 2\left( {2m - 11} \right) = 0}\\{ - 2m - 6 - 4m + 22 = 0}\\{ - 6m + 16 = 0}\\{m = \dfrac{8}{3}\left( {tmdk} \right)}\end{array}\)

Vậy \(m = \dfrac{8}{3}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link