Cho \(\Delta ABC\), đường phân giác \(AD\). Trên đoạn thẳng \(AD\) lấy các điểm \(E\) và \(F\) sao
Cho \(\Delta ABC\), đường phân giác \(AD\). Trên đoạn thẳng \(AD\) lấy các điểm \(E\) và \(F\) sao cho \(\angle ABE = \angle CBF\). Chứng minh rằng \(\angle ACE = \angle BCF\)
Quảng cáo
+ Trong tam giác cân, đường phân giác đồng thời là đường trung trực.
+ Ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.
+ Điểm nằm trên đường trung trực cảu một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạn thẳng đó.
Vì \(AC\) là đường trung trực của \(EH\) nên \(CE = CH\)
\( \Rightarrow \Delta CEH\) cân tại \(C\). Mà \(CE\) là đường trung trực
\( \Rightarrow CE\) là phân giác của \(\angle HCE \Rightarrow \angle HCE = 2\angle ACE\) (1)
Chứng minh tương tự, ta có : \(\angle FCK = 2\angle BCF\)(2)
+ Vẽ \(I\) nằm ngoài \(\Delta ABC\) sao cho \(AB\) là đường trung trực của \(EI\)
Vì \(AB\) là trung trực của \(EI\) nên \(AI = AE\)
\(AC\) là trung trực của \(EH\) nên \(AH = AE\)
\( \Rightarrow AI = AH \Rightarrow \Delta AIH\) cân tại \(A\)
Mà \(AD\) là phân giác của góc ở đỉnh
\( \Rightarrow AD\) là đường trung trực của \(IH\)
Lại có \(F \in AD\)
\( \Rightarrow FI = FH\)
Dễ dàng chứng minh được \(\Delta EBI\) cân tại \(B\) và \(\Delta KBF\) cân tại \(B\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}\angle FBI = \angle IBA + \angle ABE + \angle EBF\\\angle KBE = \angle KBC + \angle CBF + \angle EBF\end{array}\)
\(\angle IBA = \angle ABE\) (\(\Delta EBI\) cân tại \(B\))
\(\angle KBC = \angle CBF\) (\(\Delta KBF\) cân tại \(B\))
\(\angle ABE = \angle CBF\left( {gt} \right)\)
\( \Rightarrow \angle FBI = \angle KBE\)
Xét \(\Delta FBI\) và \(\Delta KBE\) có :
\(FB = KB\)
\(\angle FBI = \angle KBE\)
\(BI = BE\)
\(\Delta FBI = \Delta KBE\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow FI = KE\) (2 cạnh tương ứng)
Mà \(FI = FH\)
\( \Rightarrow FH = KE\)
Xét \(\Delta HCF\) và \(\Delta ECK\) có :
\(\left. \begin{array}{l}HC = EC\\CF = CK\\FH = KE\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta HCF = \Delta ECK\left( {c.c.c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle HCF = \angle ECK\) (2 góc tương ứng)
+ Mặt khác : \(\left. \begin{array}{l}\angle HCF = \angle HCE + \angle ECF\\\angle ECK = \angle FCK + \angle ECF\\\angle HCF = \angle ECK\end{array} \right\} \Rightarrow \angle HCE = \angle FCK\) (3)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow \angle ACE = \angle BCF\) (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
