Trên mặt nước, hai nguồn kết hợp được đặt ở A và B cách nhau 14cm, dao động điều hòa

Câu hỏi số 610606:

Vận dụng cao

Trên mặt nước, hai nguồn kết hợp được đặt ở A và B cách nhau 14cm, dao động điều hòa cùng tần số, cùng pha, theo phương vuông góc với mặt nước. Sóng truyền trên mặt nước với bước sóng 0,9 cm. Điểm M nằm trên đoạn AB cách A một đoạn 6 cm. Ax, By là hai nửa đường thẳng trên mặt nước, cùng một phía so với AB và vuông góc với AB. Cho điểm C di chuyển trên Ax và điểm D di chuyển trên By sao cho MC luôn vuông góc với MD. Khi diện tích của tam giác MCD có giá trị nhỏ nhất thì số điểm dao động với biên độ cực đại trên MD là

A. 12.

B. 13.

C. 6.

D. 8.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:610606

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức tính diện tích hình thang, diện tích hình tam giác

Bất đẳng thức Cô - si: \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) (dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\))

Điều kiện có cực đại giao thoa: \({d_2} - {d_1} = k\lambda (k \in Z)\)

Giải chi tiết

Ta có diện tích \(\Delta MCD\) là:

\(\begin{array}{l}{S_{MCD}} = {S_{ABDC}} - {S_{ACM}} - {S_{DBM}}\\ \Rightarrow {S_{MCD}} = \dfrac{{\left( {AC + BD} \right).AB}}{2} - \dfrac{{AC.AM}}{2} - \dfrac{{DB.BM}}{2}\\ \Rightarrow {S_{MCD}} = \dfrac{{(x + y).14}}{2} - \dfrac{{x.6}}{2} - \dfrac{{y.8}}{2} = 4x + 3y\end{array}\)

Mặt khác: \(\alpha + \beta = {90^0}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \tan \alpha = {\rm{cotan}}\beta \Rightarrow \dfrac{{AC}}{{AM}} = \dfrac{{MB}}{{DB}}\\ \Rightarrow \dfrac{x}{6} = \dfrac{8}{y} \Rightarrow x.y = 48 \Rightarrow 4x.3y = 576\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:

\(4x + 3y \ge 2\sqrt {4x.3y} \) (dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow 4x = 3y\))

\( \Rightarrow 4x + 3y \ge 2\sqrt {576} \Rightarrow {S_{MCD\min }} = 48\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x = 3y}\\{4x + 3y = 48}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6\,\,\left( {cm} \right)}\\{y = 8\,\,\left( {cm} \right)}\end{array}} \right.\)

Xét tại M ta có:

\(\begin{array}{l}MB - MA = 8 - 6 = 2\,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow MB - MA = 2,22\lambda \end{array}\)

Xét tại D có:

\(\begin{array}{l}DB - DA = y - \sqrt {{y^2} + A{B^2}} = 8 - \sqrt {{8^2} + {{14}^2}} = - 8,12\,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow DB - DA = - 9,02\lambda \end{array}\)

Số cực đại trên đoạn MD thỏa mãn:

\(\begin{array}{l} - 9,02\lambda \le k\lambda \le 2,22\lambda \Rightarrow - 9,02 \le k \le 2,22\\ \Rightarrow k = - 9; - 8 \ldots 0;1;2\end{array}\)

Vậy có 12 điểm cực đại trên đoạn MD.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.