Có hai tàu điện ngầm A và B chạy trong nội đo thành phố cùng xuất phát từ hai ga, chuyển

Câu hỏi số 610779:

Vận dụng

Có hai tàu điện ngầm A và B chạy trong nội đo thành phố cùng xuất phát từ hai ga, chuyển động đều trên đường thẳng. Trên màn hình ra đa của trạm điều khiển (được coi như mặt phẳng tọa độ Oxy với đơn vị trên các trục tính theo ki-lô-mét), sau khi xuất phát t (giờ) \(\left( {t \ge 0} \right)\), vị trí của tàu A có tọa độ được xác định bởi công thức \(\left\{ \begin{array}{l}x = 7 + 36t\\y = - 8 + 8t\end{array} \right.\), vị trí của tàu B có tọa độ là \(\left( {9 + 8t;5 - 36t} \right)\).

a) Tính côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B.

b) Sau bao lâu kể từ thời điểm xuất phát hai tàu gần nhau nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:610779

Phương pháp giải

a) Cho hai đường thẳng \({\Delta _1}:\,\,{a_1}x + {b_1}y + {c_1} = 0\) và \({\Delta _2}:\,\,{a_2}x + {b_2}y + {c_2} = 0\) ta có:

\(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}\)

b) Tìm vị trí của tàu A và B sau t giờ lần lượt là M và N.

Tính độ dài MN và tìm GTNN của MN.

Giải chi tiết

a) Tàu A di chuyển theo hướng cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {36;8} \right)\).

Tàu B di chuyển theo hướng cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {8; - 36} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa hai đường đi của hai tàu.

Ta có: \(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \dfrac{{\left| {36.8 + 8.\left( { - 36} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{36}^2} + {8^2}} .\sqrt {{8^2} + {{\left( { - 36} \right)}^2}} }} = 0\).

b) Vị trí của tàu A sau khi xuất phát t (giờ) là điểm M có tọa độ \(\left( {7 + 36t; - 8 + 8t} \right)\).

Vị trí của tàu B sau khi xuất phát t (giờ) là điểm N có tọa độ \(\left( {9 + 8t;5 - 36t} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {2 - 28t;13 - 44t} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {2 - 28t} \right)}^2} + {{\left( {13 - 44t} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {2720{{\left( {t - \dfrac{{157}}{{680}}} \right)}^2} + \dfrac{{4761}}{{170}}} \ge \sqrt {\dfrac{{4761}}{{170}}} \approx 5,29\,\,\left( {km} \right)\end{array}\)

MN nhỏ nhất khoảng 5,29 km thì \(t = \dfrac{{157}}{{680}}\) (giờ).

Vậy sau \(\dfrac{{157}}{{680}}\) giờ di chuyển thì hai tàu gần nhau nhất và cách nhau khoảng 5,29km.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.