Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right.\) với \(m\)

Câu hỏi số 612076:

Vận dụng

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right.\) với \(m\) là tham số.

1) Giải hệ phương trình với \(m = 1\)

2) Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\) thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = x + y\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:612076

Phương pháp giải

1) Thay \(m = 1\) vào hệ phương trình và giải bằng phương pháp cộng đại số

2) hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi \(\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\)

Giải chi tiết

1) Thay \(m = 1\) vào hệ phương trình ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 0\\x + y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\).

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;1} \right)\)

2) Với \(m = 0\). Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\).

+) Với \(m \ne 0\)

Ta có: \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{1}{m}\); \(\dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{m}{{ - 1}} = - m\)

\( \Rightarrow \) hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi \(\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{m} \ne - m\, \Leftrightarrow - {m^2} \ne 1\) với mọi \(m \ne 0\) (luôn đúng)

Nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi \(m\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right.\)

TH1: \(m = 0\). Phương trình có nghiệm \(x = 1;\,y = 0 \Rightarrow S = x + y = 1\).

TH2: \(m \ne 0\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\m\left( {1 - my} \right) - y = - m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\m - {m^2}y - y + m = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\y\left( {{m^2} + 1} \right) = 2m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\y = \dfrac{{2m}}{{{m^2} + 1}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \dfrac{{2{m^2}}}{{{m^2} + 1}}\\y = \dfrac{{2m}}{{{m^2} + 1}}\end{array} \right.\)

Khi đó: \(x + y = 1 - \dfrac{{2{m^2}}}{{{m^2} + 1}} + \dfrac{{2m}}{{{m^2} + 1}}\)\( = \dfrac{{{m^2} + 1 - 2{m^2} + 2m}}{{{m^2} + 1}} = \dfrac{{ - {m^2} + 2m + 1}}{{{m^2} + 1}} = S\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - {m^2} + 2m + 1 = S{m^2} + S\\ \Leftrightarrow \left( {S + 1} \right){m^2} - 2m + S - 1 = 0\end{array}\)

Để phương trình có nghiệm thì

\(\begin{array}{l}{\Delta _m}' = 1 - \left( {S + 1} \right)\left( {S - 1} \right) = 1 - \left( {{S^2} - 1} \right) = 2 - {S^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le S \le \sqrt 2 \end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức S bằng \(\sqrt 2 \).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link