Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right.\) với \(m\)

Câu hỏi số 612076:

Vận dụng

Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right.\) với \(m\) là tham số.

1) Giải hệ phương trình với \(m = 1\)

2) Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\) thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right)\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(S = x + y\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:612076

Phương pháp giải

1) Thay \(m = 1\) vào hệ phương trình và giải bằng phương pháp cộng đại số

2) hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi \(\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}}\)

Giải chi tiết

1) Thay \(m = 1\) vào hệ phương trình ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\x - y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 0\\x + y = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 1\end{array} \right.\).

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;1} \right)\)

2) Với \(m = 0\). Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\).

+) Với \(m \ne 0\)

Ta có: \(\dfrac{a}{{a'}} = \dfrac{1}{m}\); \(\dfrac{b}{{b'}} = \dfrac{m}{{ - 1}} = - m\)

\( \Rightarrow \) hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi \(\dfrac{a}{{a'}} \ne \dfrac{b}{{b'}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{m} \ne - m\, \Leftrightarrow - {m^2} \ne 1\) với mọi \(m \ne 0\) (luôn đúng)

Nên hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi \(m\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right.\)

TH1: \(m = 0\). Phương trình có nghiệm \(x = 1;\,y = 0 \Rightarrow S = x + y = 1\).

TH2: \(m \ne 0\)

\(\left\{ \begin{array}{l}x + my = 1\\mx - y = - m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\m\left( {1 - my} \right) - y = - m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\m - {m^2}y - y + m = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\y\left( {{m^2} + 1} \right) = 2m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - my\\y = \dfrac{{2m}}{{{m^2} + 1}}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - \dfrac{{2{m^2}}}{{{m^2} + 1}}\\y = \dfrac{{2m}}{{{m^2} + 1}}\end{array} \right.\)

Khi đó: \(x + y = 1 - \dfrac{{2{m^2}}}{{{m^2} + 1}} + \dfrac{{2m}}{{{m^2} + 1}}\)\( = \dfrac{{{m^2} + 1 - 2{m^2} + 2m}}{{{m^2} + 1}} = \dfrac{{ - {m^2} + 2m + 1}}{{{m^2} + 1}} = S\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - {m^2} + 2m + 1 = S{m^2} + S\\ \Leftrightarrow \left( {S + 1} \right){m^2} - 2m + S - 1 = 0\end{array}\)

Để phương trình có nghiệm thì

\(\begin{array}{l}{\Delta _m}' = 1 - \left( {S + 1} \right)\left( {S - 1} \right) = 1 - \left( {{S^2} - 1} \right) = 2 - {S^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le S \le \sqrt 2 \end{array}\)

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức S bằng \(\sqrt 2 \).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link