1) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) kẻ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm) và cát tuyến MBC

Câu hỏi số 612078:

Vận dụng

1) Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) kẻ tiếp tuyến MA (A là tiếp điểm) và cát tuyến MBC không đi qua tâm O (điểm B nằm giữa hai điểm M và C). Gọi H là trung điểm của BC. Đường thẳng OH cắt đường tròn (O;R) tại hai điểm N, K (trong đó K thuộc cung BAC). Gọi D là giao điểm của AN và BC.

a) Chứng minh tứ giác AKHD là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh \(\angle NAB = \angle NBD\) và \(N{B^2} = NA.ND\).

c) Chứng minh rằng khi đường tròn (O;R) và điểm M cố định đồng thời cát tuyến MBC thay đổi thì điểm D nằm trên đường tròn cố định.

2) Một hình trụ có chu vi đáy bằng \(20\pi \,\,\left( {cm} \right)\) và chiều cao bằng \(7\,\left( {cm} \right)\). Tính thể tích của hình trụ đó.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:612078

Phương pháp giải

1) a) chứng minh tổng 2 góc đối bằng \({180^0}\)

b) Chứng minh \(\Delta NBD \sim \Delta NAB\,\,\left( {g.g} \right)\)

c) Chứng minh MD = MA cố định

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác AKHD là tứ giác nội tiếp.

Ta có: \(\angle KAN = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) \( \Rightarrow \angle KAD = {90^0}\).

H là trung điểm của BC \( \Rightarrow OH \bot BC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung) \( \Rightarrow \angle KHD = {90^0}\)

Xét tứ giác AKHD có: \(\angle KAD + \angle KHD = {90^0} + {90^0} = {180^0}\), mà 2 góc này đối diện

\( \Rightarrow AKHD\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Chứng minh \(\angle NAB = \angle NBD\) và \(N{B^2} = NA.ND\).

Vì H là trung điểm của BC \( \Rightarrow N\) là điểm chính giữa cung BC \( \Rightarrow \) số đo cung BN = số đo cung CN.

\( \Rightarrow \angle NAB = \angle NBC = \angle NBD\) (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Xét \(\Delta NBD\) và \(\Delta NAB\) có:

\(\begin{array}{l}\angle ANB\,\,chung\\\angle NBD = \angle NAB\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta NBD \sim \Delta NAB\,\,\left( {g.g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{NB}}{{ND}} = \dfrac{{NA}}{{NB}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) \( \Rightarrow N{B^2} = NA.ND\) (đpcm).

c) Chứng minh rằng khi đường tròn (O;R) và điểm M cố định đồng thời cát tuyến MBC thay đổi thì điểm D nằm trên đường tròn cố định.

c) Vì tứ giác AKHD nội tiếp nên suy ra \(\angle AKN = \angle ADB\) (cùng bù với \(\angle ADH\))

Mà (tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)

\( \Rightarrow \angle MAN = \angle MDA\)

\( \Rightarrow \Delta MAD\) cân tại M \( \Rightarrow MD = MA\)

Mà M cố định và độ dài MA không đổi nên D luộ nằm trên \(\left( {M,MA} \right)\) cố định.

2) Gọi R là bán kính đáy hình trụ.

Chu vi đáy hình trụ là \(2\pi R = 20\pi \Leftrightarrow R = 10\,\,\left( {cm} \right)\).

Thể tích của hình trụ đó là: \(V = \pi {.20^2}.7 = 2800\pi \,\,\left( {c{m^3}} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link