Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC). Gọi D là điểm trên cung nhỏ
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) (AB < AC). Gọi D là điểm trên cung nhỏ BC sao cho DB < DC. Từ D kẻ DE vuông góc với BC (E thuộc BC), kẻ DF vuông góc với AC (F thuộc AC). Đường thẳng EF cắt tia AB tại K.
a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp và \(\angle DFE = \angle DAB\).
b) Chứng minh tứ giác DKBE nội tiếp và DB.DF = DA.DE.
c) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, EF. Chứng minh IJ vuông góc với DJ.
Quảng cáo
a) Tứ giác \(CDEF\)có: \(\angle DEC = \angle DFC = {90^0}\) mà hai góc này có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn \(CD\) dưới một góc không đổi
b) \(\angle DAB = \angle DCB = \angle DEF\)
c) Chứng minh \(\Delta ABD \sim \Delta FED\,\,\left( {g.g} \right)\)
d) Chứng minh \(IKDJ\) là tứ giác nội tiếp
a) * Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp
Ta có: \(DE \bot BC\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle DEC = {90^0}\)
\(DF \bot AC\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle DFC = {90^0}\)
Tứ giác \(CDEF\)có: \(\angle DEC = \angle DFC = {90^0}\) mà hai góc này có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn \(CD\) dưới một góc không đổi
\( \Rightarrow CDEF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
* Chứng minh \(\angle DFE = \angle DAB\)
Tứ giác \(CDEF\) nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle DFE = \angle DCE\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(DE\))
\( \Rightarrow \angle DFE = \angle DCB\)
Xét (O) có: \(\angle DAB = \angle DCB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\))
Suy ra \(\angle DFE = \angle DAB\) (vì cùng bằng \(\angle DCB\)) (đpcm).
b) * Chúng minh tứ giác DKBE nội tiếp
Ta có: \(\angle DFE = \angle DAB\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle DFK = \angle DAK\)
Tứ giác \(AKDF\) có: \(\angle DFK = \angle DAK\,\,\left( {cmt} \right)\) mà hai góc này có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn \(DK\) dưới một góc không đổi.
\( \Rightarrow AKDF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle AFD + \angle AKD = {180^0}\) (tổng hai góc đối nhau của tứ giác nội tiếp bằng \({180^0}\))
Mà \(\angle AFD = {90^0}\,\,\left( {do\,\,DF \bot AC} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {90^0} + \angle AKD = {180^0}\\ \Rightarrow \angle AKD = {90^0}\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle BKD = {90^0}\)
Ta có: \(DE \bot BC\) tại \(E\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle DEB = {90^0}\).
Xét tứ giác \(DKBE\) có: \(\angle BKD + \angle BED = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau
\( \Rightarrow DKBE\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
* Chứng minh DB.DF = DA.DE.
Xét (O) có: \(\angle ADB = \angle ACB\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))
\( \Rightarrow \angle ADB = \angle ECF\).
Tứ giác \(CDEF\) nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle ECF = \angle EDF\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(EF\))
\( \Rightarrow \angle ADB = \angle EDF\).
Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta FED\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle ADB = \angle EDF\left( {cmt} \right)\\\angle BAD = \angle DFE\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta FED\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{DA}}{{DF}} = \dfrac{{DB}}{{DE}}\)(cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\( \Rightarrow DB.DF = DA.DE\) (đpcm).
c) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, EF. Chứng minh IJ vuông góc với DJ.
Ta có: \(\Delta ABD \sim \Delta FED\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle ABD = \angle FED\) (hai góc tướng ứng)
\( \Rightarrow \angle IBD = \angle JED\).
Ta có:
\(I\) là trung điểm của \(AB\,\left( {gt} \right) \Rightarrow AB = 2BI\)
\(J\) là trung điểm của \(EF\left( {gt} \right) \Rightarrow EF = 2EJ\)
Lại có: \(\Delta ABD \sim \Delta FED\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{EF}} = \dfrac{{BD}}{{DE}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{2BI}}{{2EJ}} = \dfrac{{BD}}{{DE}}\,\,\,hay\,\,\dfrac{{BI}}{{EJ}} = \dfrac{{BD}}{{DE}}\)
Xét \(\Delta IBD\) và \(\Delta JED\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle IBD = \angle JED\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\dfrac{{BI}}{{EJ}} = \dfrac{{BD}}{{DE}}\,\,\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta IBD \sim \Delta JED\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle BID = \angle EJD\) (2 góc tương ứng)
\( \Rightarrow \angle KID = \angle KJD\)
Tứ giác \(IKDJ\) có: \(\angle KID = \angle KJD\,\,\left( {cmt} \right)\) mà hai góc này cùng nhìn \(DK\) dưới một góc không đổi
\( \Rightarrow IKDJ\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle IKD + \angle IJD = {180^0}\) (tổng hai góc đối của tứ giác nội tiếp bằng \({180^0}\))
Mà \(\angle IKD = {90^0}\,\,\left( {do\,\,\angle BKD = {{90}^0}\left( {cmt} \right)} \right)\)
\( \Rightarrow \angle IJD = {180^0} - {90^0} = {90^0}\).
Vậy \(IJ \bot DJ\,\,\left( {dpcm} \right)\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
