Biết x, y là các số thực thỏa mãn \({10^{2x + 3 - {y^2}}} \ge {a^{2x - \log a}}\) với mọi số thực a

Câu hỏi số 612696:

Vận dụng cao

Biết x, y là các số thực thỏa mãn \({10^{2x + 3 - {y^2}}} \ge {a^{2x - \log a}}\) với mọi số thực a > 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = 3x + 4y.\)

A. 10.

B. 13.

C. 25.

D. 8.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:612696

Phương pháp giải

Lấy log hai vế bất phương trình \({10^{2x + 3 - {y^2}}} \ge {a^{2x - \log a}}\).

Đặt \(t = \log a\), đưa về bất phương trình bậc hai ẩn t nghiệm đúng với mọi \(t \in \mathbb{R}\).

Sử dụng Bất phương trình \(a{t^2} + bt + c \ge 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta \le 0\end{array} \right.\).

Sử dụng BĐT Buniacopxki: \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\). Dấu “=” xảy ra \( \Rightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}.\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{10^{2x + 3 - {y^2}}} \ge {a^{2x - \log a}}\\ \Leftrightarrow 2x + 3 - {y^2} \ge \left( {2x - \log a} \right).\log a\\ \Leftrightarrow {\log ^2}a - 2x\log a + 2x + 3 - {y^2} \ge 0\end{array}\)

Đặt \(t = \log a\) ta có \({t^2} - 2xt + 2x + 3 - {y^2} \ge 0\).

Để bất phương trình trên đúng với mọi a > 0 thì bất phương trình đúng với mọi \(t \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ' = {x^2} - \left( {2x + 3 - {y^2}} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 3 \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} \le 4\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = 3x + 4y = 3\left( {x - 1} \right) + 4y\\ \Rightarrow {P^2} \le \left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} \right] \le 25.4 = 100\\ \Leftrightarrow P \le 10.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.\).

Vậy \({P_{\max }} = 10 \Leftrightarrow x = 1,\,\,\,y = 0.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.