Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa

Câu hỏi số 612695:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = \dfrac{4}{e}\) và \(\left( {x + 1} \right)f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){e^{ - x}}\) với mọi x > 0. Tính \(\int\limits_1^2 {{e^x}f\left( x \right)dx} \).

A. \(\dfrac{2}{3}{a^2}\).

B. \(\dfrac{5}{2} - 2\ln 2\)

C. \(4 + \ln 4\)

D. \(\dfrac{5}{2} + 2\ln 2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:612695

Phương pháp giải

Sử dụng nguyên hàm một tích. Từ giả thiết tìm \({e^x}f\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {x + 1} \right)f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = \left( {2x + 1} \right){e^{ - x}}\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right){e^x}f\left( x \right) + x{e^x}f'\left( x \right) = 2x + 1\\ \Leftrightarrow \left( {x{e^x}} \right)'f\left( x \right) + x{e^x}f'\left( x \right) = 2x + 1\\ \Leftrightarrow \left( {x{e^x}f\left( x \right)} \right)' = 2x + 1\end{array}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được: \(x{e^x}f\left( x \right) = {x^2} + x + C\).

Thay x = 1 ta có: \(ef\left( 1 \right) = 2 + C \Leftrightarrow 4 = 2 + C \Leftrightarrow C = 2.\)

\( \Rightarrow x{e^x}f\left( x \right) = {x^2} + x + 2 \Leftrightarrow {e^x}f\left( x \right) = x + 1 + \dfrac{2}{x}\).

Vậy \(\int\limits_1^2 {{e^x}f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^2 {\left( {x + 1 + \dfrac{2}{x}} \right)dx} = \dfrac{5}{2} + 2\ln 2.\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.