Cho góc nhọn xOy, lấy điểm A trên tia Ox (điểm A khác O) và điểm B trên tia Oy sao cho OA = OB.

Câu hỏi số 612969:

Vận dụng

Cho góc nhọn xOy, lấy điểm A trên tia Ox (điểm A khác O) và điểm B trên tia Oy sao cho OA = OB. Gọi M là trung điểm của AB.

a) Chứng minh: \(\angle OAM = \angle OBM\)

b) Trên tia OM lấy điểm H sao cho OM < OH. Chứng minh \(\angle OHB = \angle OHA\)

c) Qua H kẻ đường thẳng song song với AB cắt Ox tại E cắt Oy tại K. Chứng minh OH là đương trung trực của EK.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:612969

Phương pháp giải

a) Chứng minh \(\Delta OAM = \Delta OBM\left( {c.c.c} \right)\)

b) Chứng minh \(\Delta OAH = \Delta OBH\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow HA = HB\) (hai cạnh tương ứng)

c) Chứng minh \(\Delta OHK = \Delta OHE\left( {c.g.c} \right)\)

Suy ra, \(HK = HE \Rightarrow H\) là trung điểm của \(EK{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\)

\(\angle OHK = \angle OHE\)\( \Rightarrow OH \bot EK\) tại \(H{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), suy ra OH là đường trung trực của EK\(.d)Ch?ngminh\)\Delta OAK = \Delta OBE\left( {c.g.c} \right) từ đó chứng minh được \(\angle NBK = \angle NAE\)

Chứng minh \(\Delta NBK = \Delta NHE\left( {c.c.c} \right) \Rightarrow \angle NHK = \angle NHE\) từ đó chứng minh được \(NH \bot EK\) tại \(H\)

Giải chi tiết

a) \(M\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow MA = MB\)

Xét \(\Delta OAM\) và \(\Delta OBM\) có:

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{OM{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} chung}\\{OA = OB\left( {gt} \right)}\\{MA = MB\left( {cmt} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow \Delta OAM = \Delta OBM\left( {c.c.c} \right)\)\( \Rightarrow \angle OAM = \angle OBM\)(hai góc tương ứng)

b) \(\Delta OAM = \Delta OBM\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle AOM = \angle BOM\) (hai góc tương ứng)

Xét \(\Delta OAH\) và \(\Delta OBH\) có:

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{OH{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} chung}\\{\angle AOM = \angle BOM\left( {cmt} \right)}\\{OA = OB\left( {gt} \right)}\end{array}} \right\} \Rightarrow \Delta OAH = \Delta OBH\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle OHB = \angle OHA\) (hai góc tương ứng)

c) Ta có: \(OA = OB\left( {gt} \right) \Rightarrow \Delta OAB\) cân tại \(O \Rightarrow \angle OAB = \angle OBA\)

Vì AB\(//\)EK, suy ra: \(\angle OBA = \angle OKE\) (hai góc ở vị trí đồng vị) và \(\angle OAB = \angle OEK\) (hai góc ở trí đồng vị)

Từ đó, suy ra \(\angle OKE = \angle OEK \Rightarrow \Delta OEK\) cân tại \(O \Rightarrow OK = OE\)

Xét \(\Delta OHK\) và \(\Delta OHE\) có:

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{OK = OE\left( {cmt} \right)}\\{\angle KOH = \angle EOH{\mkern 1mu} \left( {do{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \angle BOM = \angle AOM} \right)}\\{OH{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} chung}\end{array}} \right\} \Rightarrow \Delta OHK = \Delta OHE\left( {c.g.c} \right)\)

Suy ra,

+ \(HK = HE\) (hai cạnh tương ứng) \( \Rightarrow H\)là trung điểm của \(EK{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\)

+ \(\angle OHK = \angle OHE\) (hai góc tương ứng) mà \(\angle OHK + \angle OHE = {180^0}\) nên \(\angle OHK = \angle OHE = \frac{{{{180}^0}}}{2} = {90^0}\), do đó \(OH \bot EK\) tại \(H{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2), suy ra OH là đường trung trực của EK

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link