Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ phân giác \(CD\left( {D \in AB} \right)\). Qua D kẻ đường thẳng vuông

Câu hỏi số 612970:

Vận dụng

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ phân giác \(CD\left( {D \in AB} \right)\). Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với CD cắt BC tại F và cắt CA tại K. Đường thằng kẻ qua D và song song với BC cắt AC tại E. Phân giác của góc BAC cắt DE tại M. Chứng minh rằng:

a) \[\angle CDF{\rm{ = }}\angle CDK\]

b) \(\angle EDC = \angle ECD,\angle EDK = \angle EKD\)

c) CF = 2BD

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:612970

Phương pháp giải

a) Chỉ ra \(\angle FCD = \angle ACD\) từ đó chứng minh được \(\Delta CDF = \Delta CDK\left( {c.g.c} \right)\)

b) Chứng minh hai góc kề một cạnh bằng nhau của tam giác thì tam giác đó là tam giác cân.

c) Từ \(D\) kẻ \(DI//EC\left( {I \in BC} \right)\)

Chứng minh được:

+ \(DI = EC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\); \(BD = CE{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)\)

+ \(ID = IC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\) và \(ID = IF{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {**} \right)\) suy ra \(ID = \frac{1}{2}CF{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) ta có điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

a) Vì CD là tia phân giác của \(\angle ACB \Rightarrow \angle FCD = \angle ACD\)

Xét \(\Delta CDF\) và \(\Delta CDK\) có:

\(\left. {\begin{array}{*{20}{l}}{\angle FCD = \angle ACD\left( {cmt} \right)}\\{CD{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} chung{\mkern 1mu} }\\{\angle CDF = \angle CDK = {{90}^0}}\end{array}} \right\} \Rightarrow \Delta CDF = \Delta CDK\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle CDF{\rm{ = }}\angle CDK\)(hai góc tương ứng)

b) Vì \(DE//BC \Rightarrow \angle CDE = \angle DCB\) (hai góc ở vị trí so le trong)

Vì CD là tia phân giác của \(\angle ACB \Rightarrow \angle DCE = \angle DCB\)

Suy ra, \(\angle DCE = \angle CDE\left( { = \angle DCB} \right)\) do đó, \(\Delta DEC\) cân tại \(E\) \( \Rightarrow \angle EDC = \angle ECD\)

Ta có: \(\angle CKD = {90^0} - \angle KCD = {90^0} - \angle EDC = \angle KDE\)

Suy ra, \(\Delta DKE\) cân tại \(E\).

\( \Rightarrow \angle EDK = \angle EKD\)

c) Từ \(D\) kẻ \(DI//EC\left( {I \in BC} \right)\)

Ta có: \(\Delta DIC = \Delta CED\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow DI = EC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 1 \right)\)

Vì \(DE//BC\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\angle ADE = \angle ABC}\\{\angle AED = \angle ACB}\end{array}} \right.\)

Mà \(\angle DAM = \angle EAM \Rightarrow \angle AMD = \angle AME \Rightarrow \Delta ADM = \Delta AEM\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow AD = AE\)

Tam giác ABC cân tại \(A\) nên \(AB = AC \Rightarrow BD = CE{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)\)

Xét tam giác DIC có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\angle IDC = \angle DCE}\\{\angle DCI = \angle IDE}\end{array}} \right.\) mà \(\angle ICD = \angle ECD\) nên \(\angle IDC = \angle ICD\)

\( \Rightarrow \Delta IDC\) cân tại \(I\)\( \Rightarrow ID = IC{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right)\)

Lại có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\angle DFI + \angle DCI = {{90}^0}}\\{\angle FDI + \angle IDC = {{90}^0}}\end{array}} \right. \Rightarrow \angle DFI = \angle FDI \Rightarrow \Delta FDI\) cân tại \(I \Rightarrow ID = IF{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {**} \right)\)

Từ (*) và (**), suy ra \(IC = IF = ID \Rightarrow ID = \frac{1}{2}CF{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 3 \right)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(CF = 2BD\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link