Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O,R) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A và B
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O,R) kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (A và B là hai tiếp điểm).
1) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
2) Vẽ tia Mx nằm giữa hai tia MA và MO. Tia Mx cắt đường tròn (O;R) tại điểm C và điểm D (điểm C nằm giữa hai điểm M và D). Chứng minh hai tam giác MAC và MDA đồng dạng, rồi từ đó suy ra \(\dfrac{{MC}}{{MD}} = {\left( {\dfrac{{AC}}{{AD}}} \right)^2}\).
3) Gọi H là giao điểm của OM và AB. Kẻ DK vuông góc với AB tại K, OP vuông góc với CD tại P, OQ vuông góc với HD tại Q. Chứng minh tứ giác HKPQ là hình thang cân.
Quảng cáo
1) Tổng hai góc đối bằng 1800
2) Chứng minh \(\Delta MAC \sim \Delta MDA\left( {g.g} \right)\)
1) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp.
MA là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow \angle OAM = {90^0}\) (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)
MB là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow \angle OBM = {90^0}\) (tính chất tiếp tuyến của đường tròn)
Tứ giác MAOB có: \(\angle OAM + \angle OBM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau
Suy ra MAOB là tứ giác nội tiếp.
2) Xét (O) có: \(\angle ADC = \angle MAC\)(góc nội tiếp; góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AC)
\( \Rightarrow \angle MAC = \angle ADM\)
Xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta MDA\)có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle AMD\,\,\,chung\\\angle MAC = \angle ADM\,\,\left( {cmt} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta MAC \sim \Delta MDA\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{MC}}{{MA}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow MC.MD = M{A^2}\\ \Rightarrow \dfrac{{MC}}{{MD}} = \dfrac{{M{A^2}}}{{M{D^2}}} = {\left( {\dfrac{{MA}}{{MD}}} \right)^2}\end{array}\)
Mặt khác, \(\Delta MAC \sim \Delta MDA\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \dfrac{{MA}}{{MD}} = \dfrac{{AC}}{{AD}}\)
Suy ra \(\dfrac{{MC}}{{MD}} = {\left( {\dfrac{{AC}}{{AD}}} \right)^2}\) (đpcm)
3) Ta có:
\(OA = OB\,\,\left( { = R} \right)\) nên O thuộc trung trực của AB.
MA = MB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên M thuộc trung trực của AB.
\( \Rightarrow OM\) là trung trực của AB.
\( \Rightarrow OM \bot AB\) tại H.
Xét tam giác OAM vuông tại A, đường cao AH có: \(O{A^2} = OH.OM\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Mà \(OA = OD \Rightarrow O{D^2} = OH.OM \Rightarrow \dfrac{{OH}}{{OD}} = \dfrac{{OD}}{{OM}}\).
Xét \(\Delta ODH\) và \(\Delta OMD\) có:
\(\begin{array}{l}\angle DOM\,\,chung;\\\dfrac{{OH}}{{OD}} = \dfrac{{OD}}{{OM}}\,\,\left( {cmt} \right);\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta ODH \sim \Delta OMD\,\,\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle OHD = \angle ODM\) (2 góc tương ứng)(1)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {90^0} - \angle OHD = {90^0} - \angle ODM\\ \Rightarrow \angle AHD = \angle DOP\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Xét tứ giác ODPQ có \(\angle OPD = \angle OQD = {90^0}\) (gt)
Mà 2 góc này có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh OD
\( \Rightarrow ODPQ\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle DOP = \angle DQP\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung DP) (2)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle AHD = \angle DQP\), mà 2 góc này ở vị trí hai góc đồng vị bằng nhau.
\( \Rightarrow \) PQ // HK (dhnb)
\( \Rightarrow HKPQ\) là hình thang (dhnb).
Ta có: \(MC.MD = M{A^2}\,\,\left( {cmt} \right)\), \(MH.MO = M{A^2}\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow MC.MD = MH.MO\\ \Rightarrow \dfrac{{MC}}{{MH}} = \dfrac{{MO}}{{MD}}\end{array}\)
Xét tam giác MCH và tam giác MOD có:
\(\begin{array}{l}\angle OMD\,\,chung;\\\dfrac{{MC}}{{MH}} = \dfrac{{MO}}{{MD}}\,\,\left( {cmt} \right);\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta MCH \sim \Delta MOD\,\,\left( {c.g.c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle MHC = \angle ODM\) (2 góc tương ứng)(3)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle MHC = \angle OHD\)
\( \Rightarrow {90^0} - \angle MHC = {90^0} - \angle OHD\)
\( \Rightarrow \angle AHC = \angle AHD\) (4)
\( \Rightarrow HA\) là phân giác của \(\angle CHD\).
Kéo dài HC cắt DK tại E.
Tam giác HDE có HK là đường cao đồng thời là phân giác \( \Rightarrow \) Tam giác HDE cân tại E.
\( \Rightarrow HK\) đồng thời là đường trung tuyến \( \Rightarrow K\) là trung điểm của DE.
Mà P là trung điểm của DC (do \(OP \bot CD\) - quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung)
\( \Rightarrow KP\) là đường trung bình của tam giác DCE (định nghĩa)
\( \Rightarrow \) KP // CE hay KP // HC.
\( \Rightarrow \angle PKH = \angle AHC\) (5)
Từ (4) và (5) \( \Rightarrow \angle AHD = \angle PKH\).
Vậy HKPQ là hình thang cân (định nghĩa) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
