Cho đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn
Cho đường tròn tâm \(O\) có đường kính \(AB = 2R\). Gọi \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(OA\) và \(E\) là điểm thuộc đường tròn tâm \(O\) (\(E\) không trùng với \(A\) và \(B\)). Gọi \(Ax\) và \(By\) là các tiếp tuyến tại \(A\) và \(B\) của đường tròn \(\left( O \right)\) (\(Ax,By\) cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ \(AB\) có chứa điểm \(E\)). Qua điểm \(E\) kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với \(EI\) cắt \(Ax\) và \(By\) lần lượt tại \(M\) và \(N\)).
1. Chứng minh tứ giác \(AMEI\) nội tiếp.
2. Chứng minh \(\angle ENI = \angle EBI\) và \(AE.IN = BE.IM\)
3. Gọi \(P\) là giao điểm của \(AE\) và \(MI\); \(Q\) là giao điểm của \(BE\) và \(NI\). Chứng minh hai đường thẳng \(PQ\) và \(BN\) vuông góc với nhau.
4. Gọi \(F\) là điểm chính giữa của cung \(AB\) không chứa điểm \(E\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Tính diện tích tam giác \(OMN\) theo \(R\) khi ba điểm \(E,I,F\) thẳng hàng.
Quảng cáo
1. Tổng hai góc đối bằng 1800
2. \(BNEI\) là tứ giác nội tiếp, \(\Delta MIN \sim \Delta AEB\,\,\left( {g.g} \right)\)
3. Từ song song đến vuông góc
1. Chứng minh tứ giác \(AMEI\) nội tiếp.
AM là tiếp tuyến của đường tròn (O)\( \Rightarrow \angle MAI = {90^0}\)
\(IE \bot MN\) tại \(E \Rightarrow \angle MEI = {90^0}\)
Tứ giác AMEI có: \(\angle MAI + \angle MEI = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau
\( \Rightarrow AMEI\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
2. Chứng minh \(\angle ENI = \angle EBI\) và \(AE.IN = BE.IM\)
*\(\angle ENI = \angle EBI\)
BN là tiếp tuyến của đường tròn (O)\( \Rightarrow \angle IBN = {90^0}\)
\(IE \bot MN\) tại \(E \Rightarrow \angle INE = {90^0}\)
Tứ giác BNEI có: \(\angle IBN + \angle INE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau
\( \Rightarrow BNEI\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle ENI = \angle EBI\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung IE)
*\(AE.IN = BE.IM\)
Tứ giác AMEI nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle EMI = \angle EAI\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EI)
Xét \(\Delta MIN\) và \(\Delta AEB\) có:
\(\left. \begin{array}{l}\angle MNI = \angle EBA\\\angle NMI = \angle EAB\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta MIN \sim \Delta AEB\,\,\left( {g.g} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{IM}}{{AE}} = \dfrac{{IN}}{{BE}}\\ \Rightarrow AE.IN = BE.IM\end{array}\)
3. Gọi \(P\) là giao điểm của \(AE\) và \(MI\); \(Q\) là giao điểm của \(BE\) và \(NI\). Chứng minh hai đường thẳng \(PQ\) và \(BN\) vuông góc với nhau.
E thuộc đường tròn tâm O đường kính AB\( \Rightarrow \angle AEB = {90^0}\)
\(\Delta MIN \sim \Delta AEB\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle MIN = \angle AEB = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle PIQ = \angle PEQ = {90^0}\)
Tứ giác PEQI có: \(\angle PIQ + \angle PEQ = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) mà hai góc này đối nhau
\( \Rightarrow PEQI\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
\( \Rightarrow \angle PEI = \angle PQI\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung PI)
\( \Rightarrow \angle AEI = \angle PQI\)
Tứ giác AMEI nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle AEI = \angle AMI\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AI)
Suy ra \(\angle PQI = \angle AMI\) (1)
Ta có:
\(\Delta AIM\) vuông tại A nên \(\angle AMI + \angle MIA = {90^0}\)
\(\angle AIM + \angle MIN + \angle NIB = {180^0}\) (tổng các góc kề bù bằng \({180^0}\))\( \Rightarrow \angle AIM + \angle NIB = {90^0}\)
Suy ra \(\angle AMI = \angle NIB\) (2)
Từ (1) và (2), suy ra \(\angle PQI = \angle NIB\)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong
\(\begin{array}{l} \Rightarrow PQ//IN\\ \Rightarrow PQ//AB\end{array}\)
Mà \(AB \bot BN\) (do BN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
Suy ra \(PQ \bot BN\)
4. Gọi \(F\) là điểm chính giữa của cung \(AB\) không chứa điểm \(E\) của đường tròn \(\left( O \right)\). Tính diện tích tam giác \(OMN\) theo \(R\) khi ba điểm \(E,I,F\) thẳng hàng.
Vì F là điểm chính giữa cung AB không chứa điểm E nên \(\angle AEI = \angle BEI = {45^0}\)
Từ đó suy ra \(\angle AIM = \angle BIN = {45^0}\)
Do đó, các tam giác MAI và NBI vuông cân.
Suy ra \(AM = IA = \dfrac{R}{2};BN = BI = \dfrac{{3R}}{2}\)
\(\begin{array}{l}{S_{\Delta OMN}} = {S_{AMNB}} - {S_{\Delta OAM}} - {S_{\Delta OBN}}\\ = \dfrac{{\left( {AM + BN} \right).AB}}{2} - \dfrac{{AI.OA}}{2} - \dfrac{{BI.OB}}{2}\\ = \dfrac{{\left( {\dfrac{R}{2} + \dfrac{{3R}}{2}} \right).2R}}{2} - \dfrac{{\dfrac{R}{2}.R}}{2} - \dfrac{{\dfrac{{3R}}{2}.R}}{2} = {R^2}\end{array}\)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
