Cho hai số dương \(x,y\) thay đổi thỏa mãn \(x + 2y = 4\) a) Chứng minh \(xy \le

Câu hỏi số 614694:

Vận dụng cao

Cho hai số dương \(x,y\) thay đổi thỏa mãn \(x + 2y = 4\)

a) Chứng minh \(xy \le 2\)

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = xy + \dfrac{{16}}{{xy}} + \dfrac{{{x^2} - 2x + 2}}{{{x^2}}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:614694

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy

Giải chi tiết

a) Ta có: \(x + 2y = 4\) \( \Leftrightarrow {\left( {x + 2y} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow {x^2} + 4{y^2} + 4xy = 16\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có \({x^2} + 4{y^2} \ge 2\sqrt {{x^2}.4{y^2}} = 4xy\)

Khi đó \({x^2} + 4{y^2} + 4xy\)\( \ge 4xy + 4xy = 8xy\)

\( \Rightarrow 16 \ge 8xy \Leftrightarrow xy \le 2\) (đpcm)

b) Ta có: \(P = xy + \dfrac{{16}}{{xy}} + \dfrac{{{x^2} - 2x + 2}}{{{x^2}}}\)

\(\begin{array}{l}P = xy + \dfrac{{16}}{{xy}} + \left( {\dfrac{{{x^2} - 2x + 2}}{{{x^2}}} - \dfrac{1}{2}} \right) + \dfrac{1}{2}\\ = \left( {xy + \dfrac{4}{{xy}}} \right) + \dfrac{{12}}{{xy}} + \dfrac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{2{x^2}}} + \dfrac{1}{2}\end{array}\)

\( \ge 2\sqrt {xy.\dfrac{4}{{xy}}} + \dfrac{{12}}{2} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{{21}}{2}\) (vì \(xy \le 2\) theo câu a)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = \dfrac{4}{{xy}}\\{\left( {x - 2} \right)^2} = 0\\x + 2y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}xy = 2\\x = 2\\x + 2y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1\end{array} \right.\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\dfrac{{21}}{2}\) khi \(x = 2;\,\,\,y = 1\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link