Cho tam giác \(ABC\) nhọn với \(AB > AC\). Các đường cao \(BM,CN\) cắt nhau tại \(H\).a) Chứng minh
Cho tam giác \(ABC\) nhọn với \(AB > AC\). Các đường cao \(BM,CN\) cắt nhau tại \(H\).
a) Chứng minh tứ giác \(AMHN\) nội tiếp
b) Gọi \(D\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\). Chứng minh \(AD\) là phân giác của góc \(\angle MDN\).
c) Đường thẳng qua \(D\) và song song với \(MN\) cắt \(AB,CN\) lần lượt tại \(I\) và \(J\). Chứng minh \(D\) là trung điểm \(IJ\).
Quảng cáo
a) Hai góc đối có tổng bằng \({180^0}\)
b) Từ các góc nội tiếp chứng minh \(\angle HDM = \angle HDN\)
c) Chứng minh Tam giác DNJ cân tại D. Tam giác NID cân tại D
a) Chứng minh tứ giác \(AMHN\) nội tiếp
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}HM \bot AC\\HN \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow \angle HMA = \angle HNA = {90^0}\)
\( \Rightarrow \angle HMA + \angle HNA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\), mà 2 góc này là 2 góc đối diện của tứ giác AMHN
\( \Rightarrow \) \(AMHN\) là tứ giác nội tiếp (dhnb)
b) Gọi \(D\) là giao điểm của \(AH\) và \(BC\). Chứng minh \(AD\) là phân giác của góc \(\angle MDN\).
Tương tự câu a ta có:
\(\angle HMC = \angle HDM = {90^0} \Rightarrow HDCM\) nội tiếp
=>\(\angle HDM = \angle HCM\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung HM)
\(\angle HDB = \angle HNB = {90^0} \Rightarrow HDBN\) nội tiếp
=>\(\angle NDH = \angle NBH\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung HN)
Mà \(\angle HCM = \angle NBH\) (cùng phụ với \(\angle BAC\))
=> \(\angle HDM = \angle HDN\)
=> \(AD\) là phân giác của góc \(\angle MDN\) (đpcm).
c) Đường thẳng qua \(D\) và song song với \(MN\) cắt \(AB,CN\) lần lượt tại \(I\) và \(J\). Chứng minh \(D\) là trung điểm \(IJ\).
Ta có:
Tứ giác \(AMHN\) nội tiếp (cmt) nên \(\angle HNM = \angle HAM\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung HM)
Mà \(\angle HAM = \angle HBD\) (cùng phụ góc \(\angle ACB\))
Tứ giác \(HDBN\) nội tiếp (cmt) nên \(\angle HBD = \angle HND\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung HD)
=> \(\angle HNM = \angle HND\)
Ta lại có: \(IJ//MN\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle HNM = \angle HJI = \angle HJD\) (hai góc so le trong bằng nhau)
\( \Rightarrow \angle HND = \angle HJD\)
\( \Rightarrow \) Tam giác DNJ cân tại D (tam giác có 2 góc ở đáy bằng nhau) => DN = DJ (tính chất tam giác cân) (1)
Vì \(\angle HND = \angle HJD\) (cmt)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {90^0} - \angle HND = {90^0} - \angle HJD\\ \Rightarrow \angle DNI = \angle NID\end{array}\)
=> Tam giác NID cân tại D (tam giác có 2 góc ở đáy bằng nhau) => DN = DI (tính chất tam giác cân)(2)
Từ (1) và (2) suy ra DI = DJ (= DN)
Vậy \(D\) là trung điểm \(IJ\) (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
