Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H (\(E \in
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BE, CF cắt nhau tại H (\(E \in AC,F \in AB\)). Chứng minh rằng:
a) Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn;
b) \(AE.BC = EF.AB\)
c) \(OA \bot EF\)
Quảng cáo
a) \(BEC\) và góc \(BFC\) cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc không đổi
b) \(\Delta AEF\) đồng dạng \(\Delta ABC\) (g.g)
c) Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) đi qua điểm \(A\) của đường tròn (O) \( \Rightarrow Ax \bot OA\)
Chứng minh \(Ax\parallel EF\) từ đó suy ra \(OA \bot EF\).
a) Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn;
Tứ giác \(BCEF\) có: \(\angle BEC = {90^o}\) (do \(BE \bot AC\))
\(\angle BFC = {90^o}\) (do \(CF \bot AB\))
Suy ra góc \(BEC\) và góc \(BFC\) cùng nhìn cạnh BC dưới 1 góc không đổi
Do đó tứ giác \(BCEF\) nội tiếp (dhnb) (đpcm)
b) \(AE.BC = EF.AB\)
Tứ giác \(BCEF\) nội tiếp nên \(\angle FBC = \angle AEF\) (cùng bù với \(\angle FEC\)).
Xét \(\Delta AEF\) và \(\Delta ABC\) ta có:
Góc \(BAC\) chung
\(\angle FBC = \angle AEF\,\,\left( {cmt} \right)\)
Do đó \(\Delta AEF\) đồng dạng \(\Delta ABC\) (g.g)
\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{EF}} = \dfrac{{AB}}{{BC}}\) (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) \( \Rightarrow AE.BC = EF.AB\) (đpcm).
c) \(OA \bot EF\)
Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) đi qua điểm \(A\) của đường tròn (O) \( \Rightarrow Ax \bot OA\) (1) (định nghĩa)
Tứ giác \(BCEF\) nội tiếp \( \Rightarrow \angle AFE = \angle ACB\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện).
Mà \(\angle ACB = \dfrac{1}{2}sd\,cung\,AB\) (góc nội tiếp chắn cung AB)
Mặt khác \(\angle xAB = \dfrac{1}{2}\,sd\,cung\,AB\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung)
Suy ra \(\angle AFE = \angle xAB\). Mà 2 góc này ở vị trí so le trong
\( \Rightarrow Ax//EF\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(OA \bot EF\) (tính chất từ vuông góc đến song song) (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
