Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y=

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 6158:

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y= $2^{sin^{2}x}+2^{cos^{2}x}$

A. Max y = 3 khi $\begin{bmatrix} x=k\pi \\x=\frac{\pi }{2} +k\pi \end{bmatrix}$ , min y = 2√2 khi x = $\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$

B. Max y = 2√2 khi $\begin{bmatrix} x=k\pi \\x=\frac{\pi }{2} +k\pi \end{bmatrix}$ , min y = 3 khi x = $\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$

C. Max y = 2√3 khi $\begin{bmatrix} x=k\pi \\x=\frac{\pi }{2} +k\pi \end{bmatrix}$ , min y = 4 khi x = $\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$

D. Max y = 4 khi $\begin{bmatrix} x=k\pi \\x=\frac{\pi }{2} +k\pi \end{bmatrix}$ , min y = 3√2 khi x = $\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:6158

Giải chi tiết

Có: y = $2^{sin^{2}x}+2^{1-sin^{2}x}$ = $2^{sin^{2}x}+\frac{2}{2^{sin^{2}x}}$

Đặt t = $2^{sin^{2}x}$ có sin²_x ∈ [0, 1]

=> t ∈ [1, 2]

=> y = t + $\frac{2}{t}$ . Có y^’= 1 - $\frac{2}{t^{2}}$

=> y^’ = 0 <=> 1 - $\frac{2}{t^{2}}$ = 0 <=> t²= 2 <=> $\begin{bmatrix}t=-\sqrt{2}(L)\\t=\sqrt{2}(tm)\end{bmatrix}$

=> y(√2) = 2√2

y(1) = 3

y(2) = 3

Vậy Min y= 2√2 khi t = √2 <=> $2^{sin^{2}x}$ = √2

<=> sin²_x = $\frac{1}{2}$

<=> 2sin²_x= 1

<=> cos2x = 0 <=> 2x = $\frac{\pi }{2}$ + kπ

<=> x = $\frac{\pi }{4}$ +k $\frac{\pi }{2}$

Max y = 3 khi $\begin{bmatrix} t=1\\ t=2 \end{bmatrix}$ <=> $\begin{bmatrix} 2^{sin^{2}x}=1\\ 2^{sin^{2}x}=2 \end{bmatrix}$ <=> $\begin{bmatrix} sin^{2}x=0\\ sin^{2}x=1 \end{bmatrix}$

<=> $\begin{bmatrix} sinx=0\\ cos^{2}x=0 \end{bmatrix}$ <=> $\begin{bmatrix} x=k\pi \\x=\frac{\pi }{2} +k\pi \end{bmatrix}$ (k ∈ Z).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.