Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d đi qua điểm M(1;2) và cắt tia Ox, tia Oy lần

Câu hỏi số 616310:

Vận dụng

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường thẳng d đi qua điểm M(1;2) và cắt tia Ox, tia Oy lần lượt tại A, B sao cho tam giác OAB có diện tích nhỏ nhất. Hãy viết phương trình của d.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:616310

Giải chi tiết

Vì A, B lần lượt thuộc tia Ox, Oy và tồn tại tam giác OAB nên A(a;0), B(0;b) với a > 0, b > 0.

Khi đó phương trình đường thẳng d là: \(\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1.\)

Vì \(M\left( {1;2} \right) \in d \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} = 1\).

Ta có \(OA = \left| a \right| = a,\,\,OB = \left| b \right| = b \Rightarrow \) Diện tích tam giác OAB là: \({S_{\Delta OAB}} = \dfrac{1}{2}OA.OB = \dfrac{1}{2}ab\).

Áp dụng BĐT Cô-si ta có: \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} \ge 2\sqrt {\dfrac{1}{a}.\dfrac{2}{b}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}ab \ge 4 \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} \ge 4\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{a} + \dfrac{2}{b} = 1\\\dfrac{1}{a} = \dfrac{2}{b}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 4\end{array} \right..\)

Vậy phương trình đường thẳng d cần tìm là: \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{4} = 1 \Leftrightarrow 2x + y - 4 = 0.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.