Cho ba điểm \(A,B,C\) phân biệt theo thứ tự cùng nằm trên một đường thẳng. Qua điểm \(B\) kẻ
Cho ba điểm \(A,B,C\) phân biệt theo thứ tự cùng nằm trên một đường thẳng. Qua điểm \(B\) kẻ đường thẳng \(d\) vuông góc với đường thẳng \(AC;D\) là một điềm di động trên đường thẳng \(d\left( {D \ne B} \right)\). Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ACD\) cắt đường thẳng \(d\) tại điểm \(E\) khác \(D\). Gọi \(P,Q\) lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \(B\) trên các đường thẳng \(AD\) và \(AE\). Gọi \(R\) là giao điểm của hai đường thẳng \(BQ\) và \(CD,S\) là giao điểm của hai đường thẳng \(BP\) và \(CE\). Chứng minh:
a) Tứ giác \(PQSR\) nội tiếp;
b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác PQSR luôn thuộc một đường thẳng cố định khi điểm \(D\) di động trên đường thẳng \(d\).
Quảng cáo
a) Do tứ giác \(ADCE\) nội tiếp nên \(\angle {ADE} = \angle {ACE}\), từ đó \(\angle {SBC} = \angle {ABP} = \angle {ACE}\).
Suy ra \(SB = SC\). Tương tự, ta có \(\angle {SEB} = \angle {SBE}\) nên \(SC = SE\), suy ra \(S\) là trung điểm \(CE\) Chứng minh tương tự, ta cũng có \(R\) là trung điểm \(CD\).
Do \(RB = RC,SB = SC\) nên ( c.c.c \() \Rightarrow \angle {BSR} = \angle {CSR} = \angle {BEC} = \angle {BAP} = \angle {BQP}\).
Do đó tứ giác PQSR nội tiếp.
b) Gọi \(\left( I \right)\) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(PQSR\).
Gọi L là trung điểm của \(AD\). Ta có \(RL//AC\) và \(RS//DE\), do đó \(\angle {LRS} = {90^ \circ }\). Suy ra LS là đường kính của đường tròn \(\left( I \right)\).
Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \(DE\) và \(AC\).
Khi đó \(N\) là điểm cố định. Lại có \(ML//AE,NS//AE\) và \(ML = NS = \dfrac{1}{2}AE\) nên tứ giác MLNS là hình bình hành, suy ra \(I\) là trung điềm \(MN\). Mà \(\angle {MBN} = {90^ \circ }\) nên \(IN = IB\).
Vậy \(I\) thuộc đường trung trực đoan thằng \(BN\) cố định.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
