Cho tam giác nhọn ABC cân tại A và có tâm đường tròn ngoại tiếp là O. Lấy điểm D bên trong
Cho tam giác nhọn ABC cân tại A và có tâm đường tròn ngoại tiếp là O. Lấy điểm D bên trong tam giác ABC sao cho \(\angle BDC = \angle BAC\) (AD không vuông góc với BC).
a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, O cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh OD là đường phân giác ngoài của \(\angle BDC\) và tổng \(BD + CD\) bằng hai lần khoảng cách từ A đến đường thẳng OD.
Quảng cáo
a) Chứng minh \(\angle {{\rm{BDC}}} = \angle {{\rm{BOC}}}\)
b) Dựng đường kính OP của đường tròn (O’) đi qua 4 điểm B, O, D, C.
Chứng minh OD là đường phân giác ngoài của \(\angle {{\rm{BDC}}}\).
Dựng đường thẳng qua C, vuông góc với OD và cắt đường thẳng BD tại C’. Gọi K là trung điểm của BC’
\( \Rightarrow BD{\rm{ }} + {\rm{ }}CD{\rm{ }} = {\rm{ }}2BK\)
Kẻ \(AL \bot OD\) tại L.Chứng minh \(\Delta ALO = \Delta BKO\). Do đó BK = AL.
a) Chứng minh bốn điểm B, C, D, O cùng nằm trên một đường tròn.
Ta có \(\angle {{\rm{BDC}}} = 2\angle {{\rm{BAC}}}\) (gt), \(\angle {{\rm{BOC}}} = 2\angle {{\rm{BAC}}}\) (t/c góc ở tâm)\( \Rightarrow \angle {{\rm{BDC}}} = \angle {{\rm{BOC}}}\).
Mà O, D nằm cùng phía đối với đường thẳng BC nên bốn điểm B, C, D, O cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh OD là đường phân giác ngoài của \(\angle {{\rm{BDC}}}\) và tổng \({\rm{BD + CD}}\) bằng hai lần khoảng cách từ A đến đường thẳng OD.
- Dựng đường kính OP của đường tròn (O’) đi qua 4 điểm B, O, D, C.
\( \Rightarrow \angle {{\rm{BDP}}} = \dfrac{1}{2}\)sđ BD ,\(\angle {{\rm{CDP}}} = \dfrac{1}{2}\)sđ CP.
+ \({\rm{OP}} \bot {\rm{BC}} \Rightarrow \) sđ BP= sđ CP \( \Rightarrow \angle {{\rm{BDP}}} = \angle {{\rm{CDP}}}\).
Do đó DP là đường phân giác trong của \(\angle {{\rm{BDC}}}\).
Lại có \({\rm{OD}} \bot {\rm{DP}} \Rightarrow \) OD là đường phân giác ngoài của \(\angle {{\rm{BDC}}}\).
+ Dựng đường thẳng qua C, vuông góc với OD và cắt đường thẳng BD tại C’.
+ Vì OD là đường phân giác ngoài của \(\angle {{\rm{BDC}}}\) nên DC = DC’ và OC = OC’ (C’ nằm trên đường tròn (O)).
+ Ta có: BD + CD = BD + DC’ = BC’ = 2BK (với K là trung điểm của BC’).
+ Hạ AL vuông góc với đường thẳng OD tại L.
- Xét hai tam giác vuông ALO và BKO có:
+ OA = OB ( bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC).
+ \(\angle {{\rm{OAL}}} = \angle {{\rm{OPD}}}\) (so le trong)
Suy ra hai tam giác ALO và BKO bằng nhau. Do đó BK = AL.
Suy ra BD + CD = 2AL (điều cần chứng minh).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
