Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Dựng đường kính NP của

Câu hỏi số 617111:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Dựng đường kính NP của đường tròn (O) vuông góc với BC tại M (P nằm trên cung nhỏ BC). Tia phân giác của \(\angle ABC\) cắt AP tại I.

a) Chứng minh \(PI = PB\)

b) Chứng minh \(\angle IMB = \angle INA\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617111

Phương pháp giải

a) Chứng minh tam giác PBI cân tại P do có 2 góc kề cạnh đáy bằng nhau

b) Chứng minh tam giác PMI và PIN đồng dạng (c.g.c)

Giải chi tiết

a) Chứng minh \({\rm{PI = PB}}{\rm{.}}\)

Ta có \(\angle {{\rm{BAP}}}\,{\rm{ = }}\,\angle {{\rm{CAP}}}\) (vì sđ BP= sđ CP) .

\(\angle {{\rm{BIP}}}\,{\rm{ = }}\,\angle {{\rm{BAI}}}{\rm{ + }}\angle {{\rm{ABI}}}{\rm{ = }}\angle {{\rm{PAC}}}{\rm{ + }}\angle {{\rm{CBI}}}{\rm{ = }}\angle {{\rm{PBC}}}{\rm{ + }}\angle {{\rm{CBI}}}{\rm{ = }}\angle {{\rm{ PBI}}}{\rm{.}}\)

Suy ra tam giác PBI cân tại P. Do đó PI = PB.

b) Chứng minh \(\angle {{\rm{IMB}}}{\rm{ = }}\angle {{\rm{INA}}}{\rm{.}}\)

+ Trong tam giác vuông BNP tại B có: \({\rm{B}}{{\rm{P}}^{\rm{2}}}\,{\rm{ = }}\,{\rm{MP}}{\rm{.NP}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{{\rm{BP}}}}{{{\rm{MP}}}}{\rm{ = }}\dfrac{{{\rm{NP}}}}{{{\rm{BP}}}}\) hay \(\dfrac{{{\rm{IP}}}}{{{\rm{MP}}}}{\rm{ = }}\dfrac{{{\rm{NP}}}}{{{\rm{IP}}}}\).

+ Hai tam giác PMI và PIN có: \(\angle {{\rm{IPM}}}\,{\rm{ = }}\,\angle {{\rm{NPI}}}\) và \(\dfrac{{{\rm{IP}}}}{{{\rm{MP}}}}{\rm{ = }}\dfrac{{{\rm{NP}}}}{{{\rm{IP}}}}\) nên hai tam giác này đồng dạng.

Suy ra \(\angle {{\rm{PMI}}}\,{\rm{ = }}\,\angle {{\rm{PIN}}}\).

+ Ta có \(\angle {{\rm{IMB}}}\,\,{\rm{ = }}\angle {{\rm{PMI}}}\, - {\rm{9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}\), \(\angle {{\rm{INA}}}\,{\rm{ = }}\angle {{\rm{PIN}}}\, - \angle {{\rm{IAN}}}{\rm{ = }}\angle {{\rm{PMI}}}\, - {\rm{9}}{{\rm{0}}^{\rm{0}}}\). Suy ra \(\angle {{\rm{IMB}}}\,\,{\rm{ = }}\,\angle {{\rm{INA}}}{\rm{.}}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link