a) Xác định tọa độ giao điểm của parabol \(\left( P \right):y = 3{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 617185:

Vận dụng

a) Xác định tọa độ giao điểm của parabol \(\left( P \right):y = 3{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x + 8\).

b) Cho \(A = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 7 }} + \cdots + \dfrac{1}{{\sqrt {2021} + \sqrt {2023} }}\)

và \(B = \sqrt {\dfrac{{2023 - 2\sqrt {2022} }}{4}} \cdot \sqrt {2 + \sqrt 5 - \sqrt {6 + \sqrt {20} } } \).

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy chứng tỏ \(A > B\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617185

Phương pháp giải

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\)

b) Rút gọn A từ \(\dfrac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 2} }} = \dfrac{{\sqrt {n + 2} - \sqrt n }}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\), rút gọn B và so sánh.

Giải chi tiết

a) Phương trình hoành độ giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) là

\(3{x^2} = 2x + 8 \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x - 8 = 0{\rm{\;}}\left( {\rm{*}} \right)\)

Ta có: \({\rm{\Delta '}} = {( - 1)^2} - 3 \cdot \left( { - 8} \right) = 25 > 0\).

Suy ra \(\left( {\rm{*}} \right)\) có hai nghiệm phân biệt: \(x = \dfrac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt {25} }}{3} = 2\) và \(x = \dfrac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt {25} }}{3} = - \dfrac{4}{3}\).

Với \(x = 2\) thì thay vào phương trình của \(\left( P \right)\) ta được \(y = 12\).

Với \(x = - \dfrac{4}{3}\) thì thay vào phương trình của \(\left( P \right)\) ta được \(y = \dfrac{{16}}{3}\).

Vậy tọa độ các giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) là \(\left( {2;12} \right)\) và \(\left( { - \dfrac{4}{3};\dfrac{{16}}{3}} \right)\).

b) Ta có: \(\dfrac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 2} }} = \dfrac{{\sqrt {n + 2} - \sqrt n }}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 2} - \sqrt n } \right)}} = \dfrac{{\sqrt {n + 2} - \sqrt n }}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\).

Do đó, \(A = \dfrac{{\sqrt 3 - \sqrt 1 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}{2} + \cdots + \dfrac{{\sqrt {2023} - \sqrt {2021} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {2023} - 1}}{2}\).

Mặt khác, \(B = \sqrt {\dfrac{{2022 - 2\sqrt {2022} + 1}}{4}} \cdot \sqrt {2 + \sqrt 5 - \sqrt {5 + 2\sqrt 5 + 1} } \)

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{\; = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{\sqrt {2022} - 1}}{2}} \right)}^2}} \cdot \sqrt {2 + \sqrt 5 - \sqrt {{{(\sqrt 5 + 1)}^2}} } }\\{}&{\; = \dfrac{{\sqrt {2022} - 1}}{2} \cdot \sqrt {2 + \sqrt 5 - \left( {\sqrt 5 + 1} \right)} }\\{}&{\; = \dfrac{{\sqrt {2022} - 1}}{2}.}\end{array}\)

Vì \(\sqrt {2023} > \sqrt {2022} \) nên ta có \(\dfrac{{\sqrt {2023} - 1}}{2} > \dfrac{{\sqrt {2022} - 1}}{2}\) hay \(A > B\).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link