a) Xác định tọa độ giao điểm của parabol \(\left( P \right):y = 3{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d

Câu hỏi số 617185:

Vận dụng

a) Xác định tọa độ giao điểm của parabol \(\left( P \right):y = 3{x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2x + 8\).

b) Cho \(A = \dfrac{1}{{1 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 5 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 5 + \sqrt 7 }} + \cdots + \dfrac{1}{{\sqrt {2021} + \sqrt {2023} }}\)

và \(B = \sqrt {\dfrac{{2023 - 2\sqrt {2022} }}{4}} \cdot \sqrt {2 + \sqrt 5 - \sqrt {6 + \sqrt {20} } } \).

Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy chứng tỏ \(A > B\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617185

Phương pháp giải

a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\)

b) Rút gọn A từ \(\dfrac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 2} }} = \dfrac{{\sqrt {n + 2} - \sqrt n }}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\), rút gọn B và so sánh.

Giải chi tiết

a) Phương trình hoành độ giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) là

\(3{x^2} = 2x + 8 \Leftrightarrow 3{x^2} - 2x - 8 = 0{\rm{\;}}\left( {\rm{*}} \right)\)

Ta có: \({\rm{\Delta '}} = {( - 1)^2} - 3 \cdot \left( { - 8} \right) = 25 > 0\).

Suy ra \(\left( {\rm{*}} \right)\) có hai nghiệm phân biệt: \(x = \dfrac{{ - \left( { - 1} \right) + \sqrt {25} }}{3} = 2\) và \(x = \dfrac{{ - \left( { - 1} \right) - \sqrt {25} }}{3} = - \dfrac{4}{3}\).

Với \(x = 2\) thì thay vào phương trình của \(\left( P \right)\) ta được \(y = 12\).

Với \(x = - \dfrac{4}{3}\) thì thay vào phương trình của \(\left( P \right)\) ta được \(y = \dfrac{{16}}{3}\).

Vậy tọa độ các giao điểm của parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) là \(\left( {2;12} \right)\) và \(\left( { - \dfrac{4}{3};\dfrac{{16}}{3}} \right)\).

b) Ta có: \(\dfrac{1}{{\sqrt n + \sqrt {n + 2} }} = \dfrac{{\sqrt {n + 2} - \sqrt n }}{{\left( {\sqrt {n + 2} + \sqrt n } \right)\left( {\sqrt {n + 2} - \sqrt n } \right)}} = \dfrac{{\sqrt {n + 2} - \sqrt n }}{2},\forall n \in {\mathbb{N}^{\rm{*}}}\).

Do đó, \(A = \dfrac{{\sqrt 3 - \sqrt 1 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 5 - \sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{\sqrt 7 - \sqrt 5 }}{2} + \cdots + \dfrac{{\sqrt {2023} - \sqrt {2021} }}{2} = \dfrac{{\sqrt {2023} - 1}}{2}\).

Mặt khác, \(B = \sqrt {\dfrac{{2022 - 2\sqrt {2022} + 1}}{4}} \cdot \sqrt {2 + \sqrt 5 - \sqrt {5 + 2\sqrt 5 + 1} } \)

\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&{\; = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{\sqrt {2022} - 1}}{2}} \right)}^2}} \cdot \sqrt {2 + \sqrt 5 - \sqrt {{{(\sqrt 5 + 1)}^2}} } }\\{}&{\; = \dfrac{{\sqrt {2022} - 1}}{2} \cdot \sqrt {2 + \sqrt 5 - \left( {\sqrt 5 + 1} \right)} }\\{}&{\; = \dfrac{{\sqrt {2022} - 1}}{2}.}\end{array}\)

Vì \(\sqrt {2023} > \sqrt {2022} \) nên ta có \(\dfrac{{\sqrt {2023} - 1}}{2} > \dfrac{{\sqrt {2022} - 1}}{2}\) hay \(A > B\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link