a. Giải phương trình \(\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 1} \right) = - 4{x^2}\). b. Giải

Câu hỏi số 617191:

Vận dụng

a. Giải phương trình \(\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 1} \right) = - 4{x^2}\).

b. Giải phương trình \(\sqrt {x + 3} + \sqrt {5 - x} - 2\sqrt {15 + 2x - {x^2}} = - 4\).

c. Giải hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} + xy + 3x = 14y}\\{\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {x + y - 3} \right) = 18y}\end{array}} \right.\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617191

Phương pháp giải

a) Chia 2 vế phương trình cho \({x^2}\)

b) Bình phương hai vế của phương trình hoặc đặt ẩn \(t = \sqrt {x + 3} + \sqrt {5 - x} \)

c) Chia 2 vế cho y đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Giải chi tiết

a) \(\left( {{x^2} - x + 1} \right)\left( {{x^2} + 4x + 1} \right) = - 4{x^2}\).

Với \(x = 0\) thì \(VT = 1;VP = 0\), nên \(x = 0\) không phải là nghiệm của phương trình. Với \(x \ne 0\) ta chia cả hai vế của phương trình cho \({x^2}\), ta được

\(\left( {x - 1 + \dfrac{1}{x}} \right)\left( {x + 4 + \dfrac{1}{x}} \right) = - 4\).

Đặt \(\left( {x - 1 + \dfrac{1}{x}} \right) = a\), phương trình trở thành \(a\left( {a + 5} \right) = - 4\)

\( \Leftrightarrow {a^2} + 5a + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1}\\{a = - 4}\end{array}.} \right.\)\(\begin{array}{*{20}{r}}{}&\;\\{}&\;\end{array}\)

Với \(a = - 1 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} - 1 = - 1 \Leftrightarrow {x^2} + 1 = 0\) (vô nghiệm). Với \(a = - 4 \Rightarrow x + \dfrac{1}{x} - 1 = - 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} = \dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}}\\{{x_2} = \dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2}}\end{array}} \right.\).

Vậy \(S = \left\{ {\dfrac{{ - 3 + \sqrt 5 }}{2},\dfrac{{ - 3 - \sqrt 5 }}{2}} \right\}\)

b) \(\sqrt {x + 3} + \sqrt {5 - x} - 2\sqrt {15 + 2x - {x^2}} = - 4\).

\( \Leftrightarrow \sqrt {x + 3} + \sqrt {5 - x} = 2\sqrt {15 + 2x - {x^2}} - 4.{\rm{\;}}\left( {\rm{*}} \right)\)

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3 \ge 0}\\{5 - x \ge 0}\\{\sqrt {15 + 2x - {x^2}} - 2 \ge 0}\end{array}{\rm{\;}} \Leftrightarrow 1 - 2\sqrt 3 \le x \le 1 + 2\sqrt 3 } \right.\).

PT \( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {x + 3} + \sqrt {5 - x} } \right)^2} = {\left( {2\sqrt {15 + 2x - {x^2}} - 4} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow x + 3 + 5 - x + 2\sqrt {15 + 2x - {x^2}} = 4\left( {15 + 2x - {x^2}} \right) - 16\sqrt {15 + 2x - {x^2}} + 16\)

\( \Leftrightarrow 4\left( {15 + 2x - {x^2}} \right) - 18\sqrt {15 + 2x - {x^2}} + 8 = 0\).

Đặt \(\sqrt {15 + 2x - {x^2}} = a \ge 0\), ta có phương trình

\(2{a^2} - 9a + 4 = 0 \Leftrightarrow \left( {a - 4} \right)\left( {2a - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 4\\a = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Khi đó, với \(a = 4 \Rightarrow \sqrt {15 + 2x - {x^2}} = 4\)\( \Leftrightarrow - {x^2} + 2x + 15 = 16 \Leftrightarrow x = 1\) (thỏa mãn)

Với \(a = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \sqrt {15 + 2x - {x^2}} = \dfrac{1}{2}\)\( \Leftrightarrow - {x^2} + 2x + 15 = \dfrac{1}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{2 + 3\sqrt 7 }}{2}\\x = \dfrac{{2 - 3\sqrt 7 }}{x}\end{array} \right.\) (không thỏa mãn)

Vậy tập nghiệm của phương trình \(S = \left\{ 1 \right\}\).

c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + {y^2} + xy + 3x = 14y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)}\\{\left( {{x^2} + 3x} \right)\left( {x + y - 3} \right) = 18y\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)}\end{array}} \right.\)

Với \(y = 0\) phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \({x^2} + 3x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = - 3}\end{array}} \right.\).

Ta thấy \(\left( {0;0} \right),\left( { - 3;0} \right)\) thoả mãn phương trình \(\left( 2 \right)\), nên \(\left( {0;0} \right),\left( { - 3;0} \right)\) là hai nghiệm của phương trình.

Với \(y \ne 0\), chia cả hai vế của phương trình cho \(y\) ta được hệ mới\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^2} + 3x}}{y} + \left( {x + y} \right) = 14}\\{\dfrac{{{x^2} + 3x}}{y}\left( {x + y - 3} \right) = 18}\end{array}} \right.\)

Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^2} + 3x}}{y} = a}\\{x + y - 3 = b}\end{array}} \right.\)

Hệ phương trình trở thành \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a + b = 11}\\{ab = 18}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 9 \Rightarrow a = 2}\\{b = 2 \Rightarrow a = 9}\end{array}} \right.} \right.\).

Với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2}\\{b = 9}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^2} + 3x}}{y} = 2}\\{x + y - 3 = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 5x - 24 = 0}\\{y = 12 - x}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3;y = 9}\\{x = - 8;y = 20}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\). Với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 9}\\{b = 2}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{{x^2} + 3x}}{y} = 9}\\{x + y - 3 = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 12x - 45 = 0}\\{y = 5 - x}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3;y = 2}\\{x = - 15;y = 20}\end{array}} \right.} \right.} \right.} \right.\).

Vậy hệ phương trình có 6 nghiệm \(\left( {0;0} \right),\left( { - 3;0} \right),\left( {3;9} \right),\left( { - 8;20} \right),\left( {3;2} \right),\left( { - 15;20} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link