a. Tìm tất cả các số nguyên tố \(p\) và \(q\) sao cho \({p^2} + 3pq + 4{q^2}\) là một số chính

Câu hỏi số 617192:

Vận dụng cao

a. Tìm tất cả các số nguyên tố \(p\) và \(q\) sao cho \({p^2} + 3pq + 4{q^2}\) là một số chính phương.

b. Tìm tất cả các số nguyên tố \(p\) sao cho tồn tại các số tự nhiên \(x,y\) thỏa mãn \({x^3} + {y^3} - 6xy = p - 8\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:617192

Phương pháp giải

Xét trường hợp p,q khác 3 và trường hợp p = 3 hoặc q = 3

Giải chi tiết

a) Giả sử \(\left( {p,q} \right)\) là cặp số nguyên tố sao cho tồn tại số nguyên dương \(r\) thỏa mãn

\({p^2} + 3pq + 4{q^2} = {r^2}\)

Trường hợp \(p,q\) dều khác 3 , ta có \({p^2} \equiv {q^2} \equiv 1\left( {{\rm{mod}}3} \right)\) và vì thế nên

\({r^2} = {p^2} + 3pq + 4{q^2} \equiv {p^2} + {q^2} \equiv 2{\rm{\;}}\left( {{\rm{mod}}3} \right)\)

điều này mâu thuẫn nên một trong hai số \(p,q\) phải bằng 3 . Ta xét hai trường hợp sau.

Nếu \(p = 3\) thế vào (1) ta được

\({(2q + 2)^2} = 4{q^2} + 8q + 4 < {r^2} = 4{q^2} + 9q + 9 < 4{q^2} + 12q + 9 = {(2q + 3)^2}.\)

Điều này vô lý nên trường hợp này không có giá trị thỏa mãn.

Nếu \(q = 3\) thế vào (1) ta được

\({(p + 4)^2} < {r^2} = {p^2} + 9p + 36 < {(p + 6)^2}\)

Do đó \({r^2} = {(p + 5)^2}\) tương đương với \(p = 11\).

Vậy chỉ có duy nhất 1 cặp nguyên tố \(\left( {p,q} \right)\) thỏa mãn bài toán là \(\left( {11,3} \right)\).

b) Với các số \(x,y,p\) thỏa mãn giả thiết, ta có

\({x^3} + {y^3} + {2^3} - 3x \cdot y \cdot 2 = p \Leftrightarrow \left( {x + y + 2} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + 4 - xy - 2x - 2y} \right) = p.\)

Do \(x,y\) nguyên dương nên ta được \(x + y + 2 \ge 2\) nên

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 2 = p\\{x^2} + {y^2} + 4 - xy - 2x - 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = p - 2 - y\\3{x^2} + \left( {6 - 3p} \right)x + \left( {{p^2} - 6p + 11} \right) = 0\end{array} \right.\)

Coi phương trình trên là một phương trình bậc hai ẩn \(x\). Ta cần có \({{\rm{\Delta }}_x}\) là số chính phương. Ta tính được

\({{\rm{\Delta }}_x} = {(6 - 3p)^2} - 4.3 \cdot \left( {{p^2} - 6p + 11} \right) = - 3{p^2} + 36p - 96\)

Phương trình có nghiệm khi \( - 3{p^2} + 36p - 96 \ge 0 \Leftrightarrow {p^2} - 12p + 32 \le 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {p - 6} \right)^2} \le 4 \Leftrightarrow - 2 \le p - 6 \le 2 \Leftrightarrow 4 \le p \le 8\)

Mà \(p\) là số nguyên tố ta được \(p \in \left\{ {5,7} \right\}\)

Thử với \(p = 7\), ta tìm được \(\left( {x,y} \right) = \left( {2,3} \right)\) và \(\left( {x,y} \right) = \left( {3,2} \right)\).

Thử với \(p = 5\), ta tìm được \(\left( {x,y} \right) = \left( {1,2} \right)\) và \(\left( {x,y} \right) = \left( {2,1} \right)\).

Vậy \(p \in \left\{ {5,7} \right\}\) là các số nguyên tố thỏa mãn đề bài.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link