Cho hàm số có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y=mx + m + 3 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(-1;3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Hàm số và các bài toán liên quan

Câu hỏi số 61852:

Cho hàm số $\dpi{100} y=x^{3}-3x+1$ có đồ thị (C) và đường thẳng (d): y=mx + m + 3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

2) Tìm m để (d) cắt (C) tại M(-1;3), N, P sao cho tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau.

A. m>1

B. m<1

C. m=1

D. m=-1

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:61852

Giải chi tiết

1. TXĐ : D = R (0,25đ)

Sự biến thiên

+ Giới hạn của hàm số tại vô cực :

( 0,25 đ)

lim y = +∞

x-> +∞ ( 0,25 đ)

+ Bảng biến thiên :

Ta có y’ = 3x² – 3

y’ = 0 <=> x = ±1 ( 0,25 đ)

( 0,25 đ)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-∞ ; -1) và (1; +∞) ;

nghịch biến trên khoảng (-1 ; 1) ( 0,25 đ)

Hàm số đạt cực đại tại x = -1, y_CĐ = 3

hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, y_CT = -1

( 0,25 đ)

+ Đồ thị :

Cho x = 0 => y = 1

( 0,25 đ)

2. Phương trình hoành độ giao điểm.

x³ – 3x + 1 = mx + m + 3 (1)

⇔ x³ – 3x – 2 = m(x+1)

⇔ (x + 1)(x² – x - 2) = m(x + 1)

⇔ (x + 1) (x² – x - 2 – m) = 0

⇔ ( 0,25 đ)

Để đường thẳng cắt đồ thị tại ba điểm M, N, P < = > pt (1) có ba nghiệm phân biệt < => pt (2) có hai nghiệm phân biệt khác (-1).

⇔ $\left\{\begin{matrix} \Delta =(-1)^{2} -4.1.(-2-m)>0& \\ (-1)^{2}-(-1)-2-m\neq 0 & \end{matrix}\right.$

⇔ ( 0,5 đ)

Gọi x₁, x₂ là nghiệm của phương trình (2). Theo Vi-ét ta có :

$\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2} =1& \\ x_{1}.x_{2}=-2-m & \end{matrix}\right.$

Do M(-1 ; 3) => x₁, x₂ là hoành độ của N, P

Ta có y’ = f’(x) = 3x² – 3

=> Hệ số góc của tiếp tuyến tại N là f’(x₁) = 3. – 3

=> Hệ số góc của tiếp tuyến tại P là f’(x₂) = 3. – 3

( 0,25 đ)

Do tiếp tuyến tại N và P vuông góc với nhau

⇔ f’(x₁). f’(x₂) = -1

⇔ (3x₁² – 3)( 3x₂² – 3) = -1 ( 0,25 đ)

⇔ 9(x₁x₂)² – 9 - 9 + 9 = -1

⇔ 9(x₁x₂)² – 9 - 9 + 10 = 0

Theo Vi-et :

9(- 2 – m)² – 9[ 1²- 2(-2 – m)] + 10 = 0 ( 0,25 đ)

⇔ 9(2 + m)² - 9(5 + 2m) + 10 = 0

⇔ 9m² + 18m + 1 = 0

⇔ $m=\frac{-3\pm 2\sqrt{2}}{3}$ (TM) ( 0,5 đ)

Vậy $m=\frac{-3\pm 2\sqrt{2}}{3}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

( Chú ý : gt là > ; lt là < )

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.