Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2022x}} - {e^{ - 2022x}} + {\ln ^{2023}}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} }
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2022x}} - {e^{ - 2022x}} + {\ln ^{2023}}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\). Trên khoảng (-25;25) có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình \(f\left( {{e^{x + m}} + m} \right) + f\left( {x - {x^2} - \ln {x^2}} \right) = 0\) có đúng 3 nghiệm phân biệt?
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Có \(x + \sqrt {{x^2} + 1} > x + \sqrt {{x^2}} = x + \left| x \right| \ge 0\)
=> Hàm số \(f\left( x \right) = {e^{2022x}} - {e^{ - 2022x}} + {\ln ^{2023}}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\) có TXĐ \(D = \mathbb{R}\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}f\left( { - x} \right) = {e^{ - 2022x}} - {e^{2022x}} + {\ln ^{2023}}\left( { - x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\\ \Rightarrow f\left( { - x} \right) = - {e^{2022x}} + {e^{ - 2022x}} + {\ln ^{2023}}\dfrac{1}{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}\\ \Rightarrow f\left( { - x} \right) = - {e^{2022x}} + {e^{ - 2022x}} - {\ln ^{2023}}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)\\ \Rightarrow f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\end{array}\)
=> Hàm số y = f(x) là hàm lẻ.
Ta có:
\(f'\left( x \right) = 2022.{e^{2022x}} + 2022.{e^{ - 2022x}} + 2023.\dfrac{{{{\ln }^{2022}}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }} > 0,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\).
=> Hàm số f(x) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Do hàm số f(x) là hàm số lẻ và f(x) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên phương trình đã cho tương đương với phương trình:
\(\begin{array}{l}f\left( {{e^{x + m}} + m} \right) = - f\left( {x - {x^2} - \ln {x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow f\left( {{e^{x + m}} + m} \right) = f\left( { - x + {x^2} + \ln {x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {e^{x + m}} + m = - x + {x^2} + \ln {x^2}\\ \Leftrightarrow {e^{x + m}} + x + m = {x^2} + \ln {x^2}\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)
Đặt \(t = \ln {x^2} \Rightarrow {x^2} = {e^t}\), phương trình (1) trở thành: \({e^{x + m}} + x + m = {e^t} + t.\)
Xét hàm số \(g\left( t \right) = {e^t} + 1 \Rightarrow g'\left( t \right) = {e^t} + 1 > 0\,\,\forall t\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f\left( {x + m} \right) = f\left( t \right) \Leftrightarrow x + m = t \Leftrightarrow x + m = \ln {x^2}\,\,\left( {x \ne 0} \right)\\ \Leftrightarrow m = - x + \ln {x^2} = h\left( x \right)\end{array}\)
Ta có
\(\begin{array}{l}h'\left( x \right) = - 1 + \dfrac{2}{x} = \dfrac{{ - x + 2}}{x}\\h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\end{array}\)
BBT:
Từ BBT ta thấy phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi \(m < 2\ln 2 - 2 \approx 0,614.\)
Kết hợp điều kiện \(m \in \left( { - 25;25} \right),\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 24; - 23;...; - 1;0} \right\}\).
Vậy có 25 giá trị nguyên m thoả mãn.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
